Prueba $(3x^2+3) \geq (x+1)^2+1$

Question

$(3x^2+3) \geq (x+1)^2+1$

Intenté usar una prueba directa, pero creo que me quedé perplejo por el camino.

$3x^2+3 \geq x^2+2x+2$

$2x^2+1 \geq 2x$

$2(x^2) +1 \geq 2x$

$x^2 + (1/2) \geq x$

¿Cómo puedo hacer que esto parezca más claro? No creo que sea evidente que esto sea cierto.

Answer 1

Intenta completar el cuadrado: \begin{align*} x^2 + 1/2 \geq x &\iff x^2 - x + 1/2 \geq 0 \\ &\iff (x^2 - x + 1/4) - 1/4 + 1/2 \geq 0 \\ &\iff (x - 1/2)^2 + 1/4 \geq 0 \\ \end{align*} que siempre es cierto para cualquier $x \in \mathbb R$ . Por lo tanto, la desigualdad original también debe ser siempre verdadera para todo $x \in \mathbb R$ .

Answer 2

Para la variedad: vamos a $f(x) = x^2 - x + 1/2$. Entonces $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 1/2$, $f(1/2) = 1/4$, y $f''(x) = 2$, de modo que la función tiene un mínimo global en $1/2$, donde su valor es positivo. Por lo tanto $f \geq 0$ en todas partes.