Supongamos que $X_1$ $n_1$- dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^{N_1}$, e $X_2$ $n_2$- dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^{N_2}$, y deje $X=X_1\times X_2$. Deje $p_1\in X_1$$p_2\in X_2$. Describir el espacio de la tangente $T_pX$ en términos de la tangente espacios de $T_{p_1}X_1$ $T_{p_2}X_2$ donde $p=(p_1,p_2)$.
Por esta pregunta tenemos que $X$ $(n_1+n_2)$- dimensiones submanifold de $\mathbb{R}^{N_1+N_2}$. Por definición de submanifold, para cada $p\in X$, existe un conjunto abierto $U\in\mathbb{R}^{n_1+n_2}$ y un vecindario $V_p$ $p$ $\mathbb{R}^{N_1+N_2}$ y un diffeomorphism $\phi: U\rightarrow X\cap V_p$. Deje $q=\phi^{-1}(p)$.
La derivada en $q$ es un mapa de $d\phi_q:T_q\mathbb{R}^n\rightarrow T_p\mathbb{R}^N$. Básicamente, se trata de un punto de $(q,v)$$(p,D\phi(q)v)$. y el espacio de la tangente $T_pX$ $X$ $p$es la imagen de esta lineales mapa. Así que esta imagen se compone de todos los $(p,w)$ donde $w=D\phi(q)v$ algunos $v\in\mathbb{R}^n$.
Estoy tratando de demostrar que $T_pX=T_{p_1}X_1\oplus T_{p_2}X_2$, pero no acabo de ver de qué manera se va a ir.
Respuesta
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De $X$ hemos ambas proyecciones $\pi_i : X \rightarrow X_i$, estos inducir morfismos $d\pi_i : T_{(p_1,p_2)}X \rightarrow T_{p_i}X_i$, Pero también tenemos canónica inclusiones $\iota_1 = \mathrm{id} \times {p_2} : X_1 \rightarrow X$$\iota_2 = p_1 \times \mathrm{id} : X_2 \rightarrow X$, e inducir a los morfismos: $d\iota_i: T_{p_i}X_i \rightarrow T_{(p_1,p_2)}X$.
Ahora, podemos definir los siguientes: $$\begin{align*} \pi: T_{(p_1,p_2)}X &\rightarrow T_{p_1}X_1 \oplus T_{p_2}X_2 \\ v &\mapsto (d\pi_1(v),d\pi_2(v)) \end{align*} $$ Y $$\begin{align*} \iota: T_{p_1}X_1 \oplus T_{p_2}X_2& \rightarrow T_{(p_1,p_2)}X \\ (v,w) &\mapsto d\iota_1(v)+d\iota_2(w) \end{align*} $$ Debido a $\pi_1 \circ \iota_2 = p_1$ constantemente, y de forma análoga para $\pi_2 \circ \iota_1 = p_2$ tenemos: $$\pi \circ \iota(v,w) = (d\pi_1(d\iota_1(v)+d\iota_2(w)),d\pi_2(d\iota_1(v)+d\iota_2(w)))= (v,w)$$ $$\iota \circ \pi(v) = d \iota_1(d\pi_1(v))+d \iota_2(d\pi_2(v)) = v $$
Por lo $T_{(p_1,p_2)}X \cong T_{p_1}X_1 \oplus T_{p_2}X_2$
