Probabilidad de que la primera celda está vacía

Question

Hay tres distintivo de bolas para distribuir a 8 células. Cada celda puede contener varias pelotas. Estoy tratando de averiguar la probabilidad de $P(A)$ que, después de la distribución, la primera celda está vacía.

Mis pensamientos: En total, hay $8^3$ posibilidades para distribuir los tres distintivos bolas a las células, y hay $7^3$ posibilidades para distribuir las bolas a todas las células, pero la primera.

Por lo $P(A) = 7^3/8^3.$

Es esto correcto? Estoy confundido ya que esta podría ser también la probabilidad de que una célula se vacía.

Answer 1

Definir $\Omega:= \{C_1,\ldots, C_8\}^3$. Cada elemento de a $\omega \in \Omega$ tiene la forma $$ \omega = (C_i,C_j,C_k) $$ y le dice que la pelota está en la celda $C_i$, el segundo es en $C_j$ y la tercera bola está en la celda $C_k$. También se permite que para instacne $C_i = C_j$. Ahora considere el caso de que el balón esté en la celda $C_n$ fijo índice de $n \in \{1, \ldots, 8\}$, es decir, $$ A_n := \{ \omega \en \Omega \colon C_n \noen \omega\}= \big(\{C_1,\ldots, C_8\} \setminus \{C_n\}\big)^3. $$ Entonces $|\Omega| = 8^3$, $|A_n|=7^3$ y así $$ \mathsf{P}(A_n) = \frac{|A_n|}{|\Omega|} = \frac{7^3}{8^3}. $$ Especialmente, $\mathsf{P}(A_1) = \frac{7^3}{8^3}$.

Answer 2

Hay una probabilidad igual para cada celda para recibir una pelota? En este caso, usted puede tratar este problema usando la distribución Binomial. Hay dos posibilidades: o bien un balón entra en la 1ª celda o no. La probabilidad de que una pelota para llegar a la 1 de la celda es de 1/8, la probabilidad de no obtener en esta celda es de 7/8. Tenemos 3 ensayos en total. Sea X una variable aleatoria, el número de bolas en la 1ª celda. A continuación, $P(X=k)=\binom{N}{k}\cdot p^k (1-p)^{N-k}$. Usted está buscando la probabilidad de que $k=0$$N=3$$p=1/8$. Llegamos $$P(X=0)=\binom{3}{0}\cdot \left(\frac{1}{8} \right)^0 \left( \frac{7}{8}\right)^3 = \left(\frac{7}{8}\right)^3$$ es la probabilidad de golpear al resto de las células tres veces en una fila. Así que tu respuesta es correcta!