Suponga que $L/K$ es de un número finito de abelian extensión global de los campos y $S$ el conjunto de los números primos de $K$ ramificaciones en $L$. A continuación, el director de orquesta $\mathfrak{f}(L/K)$ es el más pequeño módulo s.t. el Artin mapa
$$\psi_{L/K}:I_K^S \to \operatorname{Gal}(L/K)$$
factores a través de los rayos del grupo de clase $C_{\mathfrak{f}(L/K)}$. Estoy buscando a Milne notas sobre el CFT y parece una especie de omitir toda esta existencia y unicidad de la cosa a un comentario sin demostrar nada. Mi pregunta es que dados dos diferentes módulos de $\mathfrak{m}$$\mathfrak{n}$, en tanto que contiene las ramificaciones de los números primos de $K$, para demostrar la unicidad del conductor, sólo tenemos que mostrar que la Artin mapa de factores a través de los rayos del grupo de clase de los módulos
$$\prod_{\mathfrak{p}} \mathfrak{p}^{\min\{\mathfrak{n}(\mathfrak{p}),\mathfrak{m}(\mathfrak{p})\}}.$$
Hay una mancha de la manera de probar esto? Parece que me metan en un lío de multiplicativa congruencias, mientras que tratando de averiguar lo que está en el núcleo de $\psi_{L/K}$. Tal vez soy sólo falta el completamente obvio.
