Cuántas número de pares ordenados $(a, b)$ donde $a,b, \in \{1, 2,\ldots,100\}$ tal que $7^a + 7^b$ es divisible por $5$?

Question

Cuántas número de pares ordenados $(a, b)$ donde $a,b \in \{1, 2,\ldots,100\}$ such that $7^a + 7^b$ es divisible por 5?

No estoy seguro de cómo hacer esto. Alguna idea?

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EDITAR:

Me di cuenta de que si $a$ es de la forma $4k+1$ $b$ es de la forma $4k'+3$ (donde $k,k' \in \{ 0 \}$ $\cup \space\mathbb{N}$).

Asimismo, otra posible pareja sería $(4k,4k'+2)$,ahora tenemos que contar el número de par ordenado de la forma $(4k,4k'+2)$,$(4k+1,4k'+3)$,$(4k'+2,4k)$,$(4k'+3,4k+1)$ en $\{1, 2,\cdots,100\}$. Sin embargo,no he averiguado (aún) de cómo hacerlo?

Answer 1

$7^a+7^b\equiv 2^a+2^b\pmod{5}$. Desde $2$ genera el grupo multiplicativo de los números enteros modulo $5$, entonces para cada a $a$ no es un porcentaje ($b\in \{1,2,3,4\}$tal que $2^b\equiv -2^a\pmod{5}$. Ahora note que $b\equiv b'\pmod{4}$ si y sólo si $2^b\equiv 2^{b'}\pmod{5}$.

Answer 2

He visto que tienes las respuestas que son específicos para el problema en cuestión, pero hay que tener en cuenta que, cuando todo lo demás falla, siempre hay la buena ole poder de la fuerza bruta. No te va a ayudar durante los exámenes, lo más importante es no explicar la razón detrás de los resultados, pero de lo contrario no.

Se puede aplicar aquí, porque estamos hablando de relativamente pocos elementos; en caso contrario, puede aplicarlo a un subconjunto más pequeño de datos para corroborar sus procesos de pensamiento con el apoyo de datos, o sólo para llegar a la respuesta correcta para doublechecking fines.

En Python:

pairs = [(i,j) for i in range(1,101) # range(a,b) => [a, a+1, ..., b-1] :/
               for j in range(1,101)
               if (7**i + 7**j) % 5 == 0]
print(len(pairs))

Esto le da a los 2.500 y los ejecuta en un abrir y cerrar de ojos.

Answer 3

Supongamos $a < b$. A continuación, desea que el número de $(a,b)$ tal que $5$ divide $ 7^a(1 + 7^{b-a})$, o, equivalentemente, tal que $5$ divide $1 + 7^{b-a}$. Esto es lo mismo que decir $7^{b-a} \equiv -1 \pmod 5$.

Tenga en cuenta que $7^2 \equiv -1 \pmod 5$, y más en general, que para $i = 1,2,3,4$ que $7^i \equiv 2, -1, -2 , 1$ respectivamente modulo $5$. Por lo $7^i$ ciclos de mod $5$ con un periodo de 4. Así que usted está buscando el $(a,b)$ tal que $b-a \equiv 2 \pmod 4$. Contar con los de arriba y listo.

Answer 4

Podemos factor como tal. $7^a+7^b=7^b(7^{a-b}+1)$. 5 no se puede factor de la $7^b$ parte ya que sus únicos factores son 7, b, siendo a un número entero, por lo que el 5 se tienen que dividir el $7^{a-b}+1$. A partir de lo que sabemos acerca de la divisibilidad de las reglas, entonces sabemos que $7^{a-b}+1$ va a tener 0 o 5 como el dígito de las unidades si 5 divide. Por lo tanto, $7^{a-b}$ debe tener 9 o 4 como el dígito de las unidades.

Busca rápidamente en las potencias de 7, se 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649,...Debido a la naturaleza de la multiplicación, los dígitos de las unidades de los poderes de los siete, a continuación, repita el procedimiento con el patrón de 7, 9, 3, 1,... por lo tanto, $7^a+7^b$ será divisible por 5 cuando los dígitos de las unidades de $7^{a-b}$ es 9. En cuanto a la pauta de los dígitos, vemos que esta se produce cuando $b-a=2+4k$, $k\in Z$; $a,b\in \{1,2,3,...,100\}$. Usted sólo tiene que averiguar cómo muchos a,b combinaciones de satisfacer.

Answer 5

SUGERENCIA $\ $ Puesto $\rm\:N = \{1,2,\ldots,100\}\:.\:$ Deje $\rm\:S \subset N^2\:$ ser el conjunto solución. Deje $\rm\:f\:(a,b) = (a,b+1)\:.\:$ Muestran que $\rm\:N^2 =\: S\cup f\:(S)\cup f^{\:2}(S)\cup f^{\:3}(S)\:$ es una partición en partes de igual tamaño, por lo $\rm\:|S| =\: \ldots$

Nota: en la definición de $\rm\:f\:,\:$ el incremento en el $\rm\:b+1\:$ es interpretada $\rm\:mod\ 100\:,\:$ $\rm\:100 + 1 \to 1\:.$