Infinitamente veces derivable la función

Question

Deje $f$ pertenecen a $ C^{\infty}[0,1]$, y para cada una de las $x \in [0,1]$ existe $n \in \mathbb{N}$, de modo que $f^{(n)}(x)=0$. Demostrar que $f$ es un polinomio en a $[0,1]$.

Estoy tratando de uso Categoría de Baire Teorema , pero no puede perfectamente realizar la prueba .

Gracias por la ayuda.

Answer 1

Mira Andrea Ferretti de la solución o Andrey Gogolev del uno en MathOverflow.

En la última, se argumenta por la contradicción. El conjunto $X$ es los puntos de $x$ tal que para todos los $a<b$, la restricción de $f$ $(a,b)$no es un polinomio si $x\in (a,b)$. No contiene un punto aislado (si $x_0$ fueron a ese punto, no sería $r>0$ que si $|x-x_0|<r$, e $x\neq x_0$,$x\notin X$). Deje $x$ a ese punto, y $f$ restringido a $(a,b)$ no es un polinomio, $x\in (a,b)$. Pero hay un intervalo abierto $I$ contiene $x_0$$(a,b)$, y desde $x_0\in X$, $f$ restringido a este intervalo es un polinomio, una contradicción.

$X$ es cerrado, como si $x_n\to x$, $x_n\in X$ para todos los $n$, tome $(a,b)$ contiene $x$. A continuación, contiene un $x_n$ algunos $n$. Por lo $x_n\in (a,b)$ $f$ restringido a este intervalo es un polinomio.