Calc III: Volumen de la intersección de dos esferas

Question

Pregunta: No estoy obteniendo la respuesta correcta. ¿Cómo obtengo la solución (y por qué mi solución no funciona?)

Encuentra el volumen que se encuentra dentro de ambas esferas:

\begin {alinear} A: 4 &= (x+2)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 \\ B: 4 &= x^2 + y^2 + z^2 \\ \end {alinear}

Mi solución da la respuesta $V \approx 11$ mientras que Chegg.com da la respuesta $\frac {11}{24} \tau$ donde $\tau = 2 \pi$ . Sin embargo, no me gusta su método porque sacan la ecuación del volumen de la tapa de una esfera de la nada sin ninguna explicación. Esperaba encontrar una respuesta más intuitiva.

1. La distancia entre las esferas es $d = \sqrt {2^2 + 1^2 + 2^2} = 3$ por lo que puedo reemplazar estas esferas con dos esferas similares a 3 unidades de distancia, que se encuentran a lo largo del $x$ -eje.
2. Proyecto las esferas en el $xy$ -avión. La línea de intersección es $x = 1.5$ .

3. A continuación, me integro sobre $x: [1.5 , 2]$ por volumen de rotación usando el método del disco: $V = \tau \int f(x) \ dx$ .

   Esto debería dar el volumen de la mitad del volumen dentro de ambas esferas. Si doblo la integral, debería obtener el volumen completo, así que:

$$V = 2 \tau\int_ {1.5}^{2} \sqrt {x^2 - 4}\ dx$$

Déjalo: $x=2 \sin\theta$ . Entonces..: $dx = 2 \cos\theta\ d \theta$ .

$$V =2 \tau\int_ { \arcsin (3/4)}^{ \tau / 4} \sqrt {(2 \sin\theta )^2 -4} \cdot2\cos\theta\ d \theta$$

Integrar mediante la factorización de 4 a partir del cuadrado, y luego usar la fórmula de doble ángulo.

$$V=4 \tau ( \theta + \tfrac {1}{2} \sin2\theta ) \Big ]_{ \arcsin (3/4)}^{ \tau /4} \approx 11 \neq \frac {11}{24} \tau$$

¿Qué hice mal?

Answer 1

Tus instintos son correctos - tus matemáticas están equivocadas. El volumen es proporcional a la integral de la cuadrado de la función. Por el método del disco, obtengo que el volumen es

$$2 \pi \int_{3/2}^2 dx \, y^2=2 \pi \int_{3/2}^2 dx \, (4-x^2)$$

Esto se evalúa como $2 \pi (11/24)$ .