Fuertemente completa profinite grupo

Question

Deje $G$ ser un profinite grupo (o, equivalentemente, un compacto y totalmente desconectado topológico grupo ) con la propiedad de que todos sus subgrupos normales de índice finito están abiertas conjuntos.

¿Esto implica que todos sus subgrupos de índice finito están abiertos ? (si todos los subgrupos de índice finito de $G$ están abiertos conjuntos, de $G$ es lo que se llama fuerza completa ; esto motiva el título de este post)

Answer 1

Sí.

Lema: Vamos a $H$ ser un subgrupo de índice finito en un grupo de $G$. A continuación, $H$ contiene un subgrupo normal de índice finito, es decir,$\bigcap_{g \in G} gHg^{-1}$.

Prueba. $G$ actúa sobre la izquierda cosets $G/H$ por la traducción. Desde $|G/H|$ es finito, el núcleo de esta acción ha finito índice (dividiendo $|G/H|!$), y es precisamente el por encima de la intersección. $\Box$

Así que cada subgrupo de índice finito es una unión de cosets normal de un subgrupo de índice finito. Por lo tanto, si estos últimos son abiertos, entonces la antigua.