La convergencia de $\int_0^\infty x \sin e^x \, dx$

Question

Estoy tratando de demostrar la convergencia/divergencia de un par de integrales. Ellos son:

1. $\int_0^\infty x \sin e^x\,dx$
2. $\int_0^{\pi/2} \sin(\sec x)\,dx$

Hubo un ejercicio anterior, similar a la primera, $\int_0^\infty e^x \sin e^x \, dx$. Llegué a la conclusión de que este diverge, ya que por la sustitución fui capaz de cambiar a $\int_1^\infty \sin u\ du$. Pero no he tenido éxito en la sustitución de la primera: si tratamos de $u=e^x$, obtenemos $x \sin e^x \, dx = \ln(u)\ e^{-u}\sin u \,du$, pero ahora no se puede hacer de los límites de trabajo.

Para el segundo, obviamente, el problema es que $\sec$ va al infinito como $x\to \pi/2$, lo $\sin$ oscila violentamente. ¿Cómo podemos investigar la convergencia aquí?

Answer 1

Para la primera función, se están integrando de$0$$M$, y luego hacer la $M$ obtener grandes.

Reescribir nuestra función como $xe^{-x} e^x\sin(e^x)$. Integrar por partes, dejando $u=xe^{-x}$$dv=e^x \sin(e^x)\,dx$.

A continuación, $du=(-xe^{-x}+e^{-x})\,dx$ y podemos tomar $v$$-\cos(e^x)$. Ahora todo se comporta muy bien para un gran $M$ debido a que el asesino se $e^{-x}$, y obtener convergencia.

Answer 2

Hay un par de maneras de ver por qué la segunda converge. He aquí un par: Usted puede escribir como una corriente alterna de la serie, y el uso de la alternancia de serie de la prueba. Como alternativa, debido a $\sec(x)$ es monótona en $[0,\pi/2]$, puede permitir a $u=\sec(x)$, y reescribir la integral como $$\int_0^{\pi/2}\sin(\sec(x))dx=\int_1^\infty\frac{\sin(u)}{u\sqrt{u^2-1}}du,$$, que es convergente.