Considere la posibilidad de un primer número $q$. Es cierto que cada secuencia de q enteros consecutivos contiene al menos un entero no divisible por cualquier prime $p, p < q$? Parece ser por lo que en cualquier caso concreto, me mira, pero no sé cómo demostrarlo como una declaración general.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Holden Lee
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No. He aquí una refutación que funciona para todas las $q\ge 13$.
La etiqueta de los números primos $p_1<p_2<\cdots <p_{n+1}=q$.
Primero un poco de motivación. Una bastante larga secuencia de números consecutivos, cada divisible por algunos de los mejores $<q$$q!+2,\ldots, q!+q-1$, pero esto no es suficiente. También tenemos la secuencia de $q!-q+1,\ldots, q!-2$ en el otro lado. Si sólo hubiera una manera de conectar estas dos!
Seguro que, si hemos eliminado algunos de los números primos de $q!$.
Deje $P=cp_1\cdots p_{n-2}$. Elija $c$ tal que $p_{n-1}\mid P-1$$p_{n}\mid P+1$, posible por el teorema del resto Chino. Ahora $P-p_{n-1}+1,\ldots, P-2$ $P+2,\ldots, P-p_{n-1}-1$ son cada divisible por algunos de los mejores en $p_1,\ldots, p_{n-2}$. Obtenemos una secuencia de $2p_{n-1}-1$ enteros consecutivos cada divisible por algunos de los mejores en $p_1,\ldots, p_n$. Basta con que $\boxed{2p_{n-1}-1\ge p_{n+1}=q}$, lo que sucede por $q\ge 13$.
