Sólo quiero destacar que esta pregunta apunta a la teoría de la racionalidad de las representaciones y los personajes que se expone tan bellamente en los capítulos 12 y 13 del libro de Serre Representaciones lineales de grupos finitos .
En particular, se tienen los siguientes hechos.
[Sección 13.1, Corolario 1]: Las siguientes son equivalentes:
(i) Todo carácter de $G$ es $\mathbb{Q}$ -valorado.
(ii) Todo carácter de $G$ es $\mathbb{Z}$ -valorado.
(iii) Toda clase de conjugación de $G$ es racional para cada $g \in G$ y un número entero positivo $k$ primo al orden de $g$ , $g^k$ es conjugado con $g$ .
Como se ha señalado anteriormente, al elevar un elemento del grupo simétrico $S_n$ a una potencia prima a su orden no cambia la descomposición del ciclo, la condición (iii) se mantiene y la implicación (iii) $\implies$ (ii) responde a la pregunta. La prueba es el argumento básico de la teoría de Galois que se da en otras respuestas. La implicación (ii) $\implies$ (iii) es más profundo, ya que utiliza la irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos].
Algunos otros han dicho que la prueba más corta o sencilla surge de saber que todas las representaciones irreducibles de $S_n$ puede construirse explícitamente y, por lo tanto, puede verse que es realizable sobre $\mathbb{Q}$ . Respetuosamente, no estoy de acuerdo. Se trata de un teorema no trivial de Young al que Serre se refiere pero no demuestra en su libro (Ejemplo 1, p. 103).
Además, Serre explica que la condición de racionalidad de los caracteres es, en general, más débil que la racionalidad de las representaciones: aquí hay obstáculos en el grupo de Brauer de $\mathbb{Q}$ ¡! En concreto, por el Teorema de Maschke el anillo de grupo $\mathbb{Q}[G]$ es semisimple, es decir, un producto de simples $\mathbb{Q}$ -algebras $A_i$ que están en correspondencia biyectiva correspondencia con los irreducibles $\mathbb{Q}$ -representaciones $V_i$ . Por el lema de Schur, $D_i = End_G(V_i)$ es un álgebra de división, y se tiene $A_i \cong M_{n_i}(D_i)$ . Entonces:
[Sección 12.2, Corolario]: Las siguientes son equivalentes:
(i) Cada $D_i$ es conmutativo.
(ii) Cada $\mathbb{C}$ -representación de $G$ es racional sobre el campo numérico abeliano generado por sus valores de carácter.
Así, sólo sabiendo que la tabla de caracteres es $\mathbb{Z}$ -valorado no es suficiente. El ejemplo estándar [Ejercicio 12.3] es el grupo de cuaterniones $G = $ { $\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k$ para lo cual
$\mathbb{Q}[G] \cong \mathbb{Q}^4 \oplus \mathbb{H}$ ,
donde $\mathbb{H}$ es un álgebra de cuaterniones de división sobre $\mathbb{Q}$ , ramificado en $2$ y $\infty$ . Corresponde a un irreducible $2$ -dimensional $\mathbb{C}$ -representación con carácter racional pero que no puede realizarse sobre $\mathbb{Q}$ .
