Representación en $A_8$ $D_4$ permite automorphism que los interruptores de 2 subgrupos normales

Question

Nombre de las esquinas de un cuadrado como 1,2,3,4 en orden de las agujas del reloj.

Como ustedes saben: El grupo de todos los movimientos de la plaza de nuevo a sí mismo, llama $D_4$, tiene ocho elementos, escrito en el ciclo de forma como: $$\begin{align*} \mathrm{id},& &\qquad a&=(1234),\\ b&=(13)(24), &c&=(1432),\\ d&=(12)(34), &e&=(14)(23),\\ f&=(13), &g&=(24). \end{align*}$$

Los dos subgrupos $x_1= \langle d, e\rangle$ $x_2=\langle f,g\rangle$ son cada "abstracta" isomorfo a la Klein 4-grupo, y compartir el elemento central de la $b$.

Pero $x_1$ $x_2$ no conjugada como subgrupos de $D_4$ (o subgrupos de $S_4$, ya que tienen diferente estructura del ciclo, y la mitad de $x_2$ es impar, mientras que todos los de $x_1$ es incluso).

$D_4$s regular representación en $A_8$ puede ser escrito como $$\begin{align*} \mathrm{id}, &&\quad A&=(1234)(5768);\\ B&=(13)(24)(56)(78);& C&=(1432)(5867);\\ D&=(15)(28)(36)(47);& E&=(16)(27)(35)(48);\\ F&=(17)(25)(38)(46);& G&=(18)(26)(37)(45). \end{align*}$$ La imagen de $x_1$ $\langle D,E\rangle$ e de $x_2$$\langle F,G\rangle$.

Pero, $\langle D,E\rangle$ es automorphic a $\langle F,G\rangle$ bajo la conjugación en $S_8$$(5768)$.

Mi pregunta: ¿hay una manera de llamar la $D_4$ como movimientos de una figura geométrica que me permitiera ver la automorphism?

Gracias,

Answer 1

Usted puede dibujar dos cuadrados dentro de un octágono regular. Si los vértices del octágono son (en orden de las agujas del reloj) $1,1',2,2',3,3',4,4'$, luego de las dos plazas están formados por el barnizadas y preparado de vértices respectivamente. Si usted rota la imagen completa por $2\pi/8$, luego las dos plazas son intercambiados.

Las dos plazas que dan lugar a la misma diedro grupo $D_4$ (cuando se ve como movimientos del avión): cuatro rotaciones (uno trivial) y cuatro reflexiones. El $x_1$ de una plaza se parece a la $x_2$ de los otros cuadrados. En la imagen a continuación de los dos cuadrados son de color rojo (sin imprimación) y azul (cebado) rescpetively. Imagina que $1'$ es la parte superior de la esquina de un cuadrado azul, por lo $3'$ está en la parte inferior. Orientar para que $1,2,3,4$ son el NW, NE, SE, SW esquinas, respectivamente. La reflexión w.r.t. el eje vertical da $d=(12)(34)$ sobre el cuadrado rojo, y $g'=(2'4')$ sobre el cuadrado azul. Del mismo modo otros elementos de $x_1$ sobre el cuadrado rojo se convierten en elementos de $x_2$ sobre el cuadrado azul y viceversa.

Otra manera de mirar esto es, si $r$ es una rotación por el ángulo de $2\pi/8=\pi/4$, consigue $x_1$ $x_2$ (de la misma plaza) mediante la conjugación con $r$. En otras palabras, los dos subgrupos de convertirse conjugado, si la vista tanto de ellos como de los subgrupos de $D_8$.

Answer 2

No puede ser lo que quieras, pero toma un cubo, y el número de vértices en la parte superior $1,2,3,4$, y los vértices directamente debajo de ellos $7,6,8,5$, así:

                   2_________1
                  /|        /|
                 / |       / |
                3_________4  |
                |  |______|__|7
                |  /6     |  /
                | /       | /
                |/        |/
                8_________5

Usted puede ahora considerar la rigidez de movimientos del cubo que respetar "a los lados" y "arriba-y-abajo". Es decir, la parte superior e inferior de la cara debe ser asignada a la parte superior e inferior de la cara, los cuatro lados de los cuatro lados.

$\mathrm{id}$, $A$, $B$, y $C$ son rotaciones en las que el mapa de la parte superior de la cara a sí mismo; $D$, $E$, $F$, y $G$ son las rotaciones en las que el intercambio caras superior e inferior y. El automorphism corresponde a la numeración de los vértices en la parte inferior.