Conjetura de la función $g(x)$ es incluso la función?

Question

Deje $f,g:R\to R\setminus\{0\}$$\forall x,y\in R$, $$\color{crimson}{f(x-y)=f(x)g(y)-f(y)g(x)}$$ I have prove the function $\color{color carmesí}f$ impar función.

porque, seamos $y=0$ hemos $$f(x)=f(x)g(0)-f(0)g(x)\tag{1}$$ Deje $x=0,y=x$ hemos $$f(-x)=f(0)g(x)-f(x)g(0)\tag{2}$$ por $(1),(2)$, $$f(x)=-f(-x)$$

Conjetura： $\color{crimson}{g(x)}$ es incluso la función

Para esta función $g(x)$ es incluso problema ,no tengo ninguna idea para probarlo.Pero creo que es justo,porque
$$\color{blue}{\sin{(x-y)}=\sin{x}\cos{y}-\sin{y}\cos{x}}$$ $$\color{crimson}{\sinh{(x-y)}=\sinh{x}\cosh{y}-\sinh{y}\cosh{x}}$$

Answer 1

La conjetura es falsa.

Considere la posibilidad de $f(x) = x$$g(x) = 1+x$. Ahora, para todos los $x,y \in \mathbb{R}$, $$f(x-y) = x-y$$ y $$f(x)g(y) - f(y)g(x) = x(1+y) - y(1+x) = x + xy - y - xy = x-y,$$ por lo $f(x-y) = f(x)g(y) - f(y)g(x)$. Sin embargo, $g$ no es uniforme.

Answer 2

Estás en la dirección correcta cuando usted consiguió $Eq-2$ poniendo $x=0$$y=x$. Desde que usted consigue $g(x) = \frac{f(-x) + f(x)g(0)}{f(0)}$. Asimismo, la colocación de $x=0$ $y=-x$ puede dar $g(-x)$, lo que es lo mismo que $g(x)$. Lo que demuestra la $g(x)$ es incluso. Tenga en cuenta que la división por $f(0)$ es seguro debido a que el rango de $f$ no incluyen el 0.

Por CIERTO, la función de la gama de funciones impares suelen incluir a 0, a menos que usted no desea definir su definición de la función en 0. Se podría argumentar que $\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$ pero yo estoy hablando de cosas que yo no estoy seguro :D