Creo que es verdad. ($a_n$) es una secuencia decreciente de números positivos, por lo tanto converge.
Si $(a_n) \rightarrow L \neq 0 $, es muy fácil demostrar que $b_n$ converge, con la comparación de series divergentes.
Así que, vamos a suponer que L=0.
Ahora hay dos posibilidades:
1) $ (v_n)$ = $ (na_n) $ no está acotado: Existe una subsecuencia $(g_k = v_{f(k)})$, con f una función estrictamente creciente de N$\rightarrow N$, tal que: $ g_k \geq k $.
$(v_k)$ es una secuencia positiva. Por lo tanto: $ \sum_{k=0}^{f(n)} v_k \geq \sum_{k=0}^n v_{f(k)} = \sum_{k=0}^n k$ ; ya que hay más términos en la suma de la izquierda.
De esto, se obtiene: $ b_{f(n)} \leq e^{-\sum_{k=0}^n k} = G_n $
Se obtiene que: $(b_{f(n)})$ converge, y con el encuadre correcto con $(b_n)$ se puede demostrar que este último también converge.
2) $(v_n) $ acotado; el teorema de Bolzano-Weierstrass aplicado a ($v_n$) da una subsecuencia convergente que voy a llamar : ($c_n$) = ($v_{f(n)}$) , con f una función estrictamente creciente de N$\rightarrow N$. Sea L ($\neq 0$ , por ahora) ese límite.
De igual manera : $ \sum_{k=0}^{f(n)} v_k \geq \sum_{k=0}^n v_{f(k)} $
De esto, se obtiene: $ b_{f(n)} \leq e^{-\sum_{k=0}^n c_k} = C_n $
$c_n = L + o(1)$ => $\sum_{k=0}^n c_k = nL + o(n)$ ; Se obtiene que $C_n$ converge, y por lo tanto $(b_{f(n)})$ converge. De esto se puede obtener que $(b_n)$ converge al juntar las dos secuencias $(b_n)$ y $(b_{f(n)}) juntas.
Queda el caso: L=0
Edición: Intenté otra manera:
Tenemos, usando la decrecimiento de ($a_n$) :$ k*a_k \geq k*a_n $ , for k=1..n
\=> $ \sum_{k=1}^n k*a_k \geq a_n*\sum_{k=1}^n k = \frac{a_n*n*(n+1)}{2} $
Por lo tanto: $ b_n = \exp\left(-\sum_{k=1}^n k\,a_k\right) \leq \exp\left(-\frac{a_n*n*(n+1)}{2}\right) \leq \exp\left(-\frac{a_n*n^2}{2}\right) = \exp\left(-n^a*\frac{a_n*n^{2-a}}{2}\right) $
Con: 0 < a < 1
Ahora estoy bastante convencido de que : $ (a_n)$ decreases $ \rightarrow 0, \sum a_n $ diverges => $ (a_n*n^{2-a}) \rightarrow +\infty $ . Eso, por supuesto, siendo intuitivo porque $a_n$ converge a 0 más lentamente que $n^{2-a}$ divergiendo a $+\infty$ ya que $\sum a_n$ diverge. Pero todavía no he encontrado una demostración adecuada todavía..
Pero si esto es verdad, se obtiene: $b_n \leq \exp\left(-n^a*K\right) $ para $ n \geq N_o $ , $N_o$ siendo definido por la divergencia de $(a_n*n^{2-a})$.
Tenemos: $\exp\left(-n^a*K\right) = O(\frac{1}{n^2}) $ , por lo tanto : $ b_n \leq O(\frac{1}{n^2}) $ , entonces $(b_n)$ converge.
Por supuesto, esto es válido solo si la propiedad anterior es cierta... ¿Qué piensas?
segunda edición: Bueno @siméon encontró un contraejemplo que lo hace colapsar, así que olvídalo..
