Submódulos de un módulo sobre un anillo conmutativo

Question

Deje $R$ ser un conmutativa unital anillo, $I$ un conjunto, y $R^{(I)}$ el módulo en $I$.

1. Puede haber un submódulo $R^{(J)}\cong M\leq R^{(I)}$$|J|\!>\!|I|$?

2. Puede $R^{(I)}$ ser generado (como $R$-módulo) por un subconjunto $J$$|J|\!<\!|I|$?

Ligeramente relacionadas: ¿existe una incrustación de $R$-álgebras $R[x_1,x_2,\ldots]\longrightarrow R[x,y]$?

Sé que existe una incrustación de libre grupos de $\langle x_1,x_2,\ldots|\emptyset\rangle \longrightarrow \langle x,y\|\emptyset\rangle$ y una incrustación de libre álgebras $R\langle x_1,x_2,\ldots\rangle\longrightarrow R\langle x,y\rangle$, es decir,$x_n\longmapsto x^ny$.

Answer 1

Para $R=0$ la respuesta es sí en cada caso. Así que supongamos $R \neq 0$ en el siguiente.

1) No, ver MO/136. También ha aparecido varias veces en este sitio (de matemáticas.SE/106786, matemáticas.SE/132729, matemáticas.SE/310166).

2) No, tensor de la con $R/\mathfrak{m}$ para un ideal maximal $\mathfrak{m}$ y, a continuación, el uso de álgebra Lineal.

3) No si $R$ es una parte integral de dominio. Porque esto daría lugar a una incrustación $K(x_1,x_2,\dotsc) \to K(x,y)$ de la extensión de los campos de $K$, el campo de fracciones de $R$, lo que contradice la trascendencia de grado. No estoy seguro de lo que sucede con el general $R$. Espero que alguien más se puede explicar el caso general.

Aquí está una pequeña observación: Si hay una incrustación de $R$-álgebras $R[x_1,x_2,\dotsc] \to R[x,y]$, entonces no es un contable sub-anillo $S \subseteq R$ y una incrustación $S$-álgebras $S[x_1,x_2,\dotsc] \to S[x,y]$. Es decir, vamos a $S$ ser el sub-anillo generado por los coeficientes de la imagen de $x_i$ donde $i \in \mathbb{N}$. Por lo tanto, podemos restringir nuestra atención a los contables de los anillos.