¿Hay menos reales en $(0, 1)$ que en $(1,\infty)$ ?

Question

Sé que la cardinalidad de los conjuntos de números reales $(0, 1)$ y $(1, \infty)$ son iguales.

Entonces, ¿cuál es la falacia de este argumento?

Por cada real en $(0, 1)$ podemos añadir cualquier número entero $n$ a él y obtener un número en $(1, \infty)$ con el número del primer conjunto como parte fraccionaria de nuestro nuevo número. Sin embargo, esto puede aplicarse a cualquier real en $(0, 1)$ con cada número entero mayor que uno... parece sugerir una mayor cardinalidad del segundo conjunto que del primero.

Answer 1

Su argumento muestra que la cardinalidad de $(1,\infty)$ es igual a la cardinalidad de $(0,1)$ veces la cardinalidad de los enteros positivos. En otras palabras,

$$\mathfrak c=\mathfrak c\cdot\aleph_0$$

También se conoce de otras maneras. La ecuación proviene de la definición del producto de números cardinales.

El origen de la "paradoja" es que un conjunto infinito puede tener la misma cardinalidad que un subconjunto propio. Esto no puede ocurrir con los conjuntos finitos, pero sí con los infinitos. La forma habitual de introducir esa "paradoja" es mostrar que los conjuntos $\{1,2,3,\ldots\}$ y $\{0,1,2,3,\ldots\}$ tienen el mismo número de elementos, aunque el segundo conjunto tiene "un elemento más" que el primero. Para una dramatización de esto, véase Hotel Hilbert .

Answer 2

El problema es que no tienes un mapeo, tienes un familia de mapas indexados por $\mathbb{N}$ . Para deducir algo formalmente sobre la cardinalidad, hay que hablar de un solo mapa, no de un montón de mapas.

Además, cada uno de sus mapas incorpora $(0,1)$ en $(1,\infty)$ que sólo muestra que la cardinalidad de $(0,1)$ es menor o igual que la cardinalidad de $(1,\infty)$ . Lo hace no concluir nada sobre la desigualdad estricta de sus cardinalidades, ya que esto requeriría una prueba que afirmara la inexistencia de una biyección entre sus conjuntos.

Answer 3

Su argumento no muestra una cardinalidad mayor para $(1,\infty)$ . Ha demostrado que $\mathfrak {c=c}\cdot \aleph_0$ que es cierto

Answer 4

El error esencial aquí es la suposición de que si se puede establecer un mapeo Uno-a-Muchos de A a B, entonces se ha demostrado que Cardinality(A) < Cardinality(B) o simplemente en general, que no son iguales. Si bien esto es cierto para los conjuntos finitos, definitivamente es no verdadero para conjuntos de cardinalidad transfinita.

Más bien, hay que basarse en la definición de Igualdad para la cardinalidad del conjunto, que es que si se puede establecer cualquier 1 a 1 de A a B, entonces Cardinality(A) = Cardinality(B) . Por lo tanto, para establecer no -igual cardinalidad, hay que demostrar que hay no 1 a 1 en el mapeo posible entre ellos (que es lo que la prueba diagonal hace para los números naturales frente a los números reales).

Answer 5

Esto no responde explícitamente a su pregunta, pero puede contribuir a su comprensión.

Lo que ha observado (esencialmente) es que existe un subconjunto propio de los números reales con la misma cardinalidad del conjunto. Aquí "cardinalidad" significa "coincide con una función uno a uno y sobre". El siguiente paso es darse cuenta de que eso no es una contradicción: es la definición de lo que significa que un conjunto sea infinito.

El primer caso habitual de esta "contradicción" (o paradoja) es que hay el mismo número de enteros pares que enteros.

Las otras respuestas aquí son correctas, pero quizás más técnicas de lo que necesitas.