Si los valores propios son positivos, ¿es la matriz definida positiva?

Question

Si la matriz es definida positiva, todos sus valores propios son estrictamente positivos.

¿Es también cierto lo contrario?
Es decir, si los valores propios son estrictamente positivos, ¿la matriz es definida positiva?
¿Puede dar un ejemplo de $2 \times 2$ matriz con $2$ valores propios positivos pero no es definida positiva?

Answer 1

Creo que esto es falso. Vamos a $A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ sea una matriz 2x2, en la base canónica de $\mathbb R^2$ . Entonces A tiene un valor propio doble b=1. Si $v=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ entonces $\langle v, Av \rangle < 0$ .

La cuestión es que la matriz puede tener todos sus valores propios estrictamente positivos, pero no se deduce que sea definida positiva.

Answer 2

Esta pregunta ilustra muy bien el problema de pensar en estas cosas en términos de coordenadas. Lo que es definida positiva no es una matriz $M$ pero el forma cuadrática $x \mapsto x^T M x$ que es muy diferente de la transformación lineal $x \mapsto M x$ . Por un lado, la forma cuadrática no depende de la parte antisimétrica de $M$ por lo que utilizar una matriz asimétrica para definir una forma cuadrática es redundante. Y hay ninguna razón que una matriz asimétrica y su simetrización tengan que estar relacionadas en absoluto; en particular, no es necesario que tengan los mismos valores propios.

Answer 3

Tal como está planteada, la respuesta a la pregunta es no, si $\mathbf A$ no es simétrica. Contraejemplo:

$$\mathbf A = \begin{pmatrix} 7 & 1 \\ -20 & -2\end{pmatrix}$$

con valores propios positivos $3$ y $2$ . $\mathbf A$ no es positiva definida, es decir, $\mathbf x^\top \mathbf A \mathbf x$ no es una forma cuadrática positiva.

Por supuesto, como han señalado muchos, si además exigimos que $\mathbf A$ sea simétrico, entonces todos sus valores propios son reales y, además, $\mathbf A$ es positiva definida si, y sólo si, todas sus valores propios son positivos.

Answer 4

Lo contrario será cierto si la matriz es diagonalizable. Por eso el contraejemplo dado por Ronaldo (editado por KennyTM) no es diagonalizable. Si $B$ es diagonalizable, entonces $B=P^TAP$ y $y^TBy=y^TP^TAPy=x^TAx=\sum d_ix_i^2$ (donde $P$ es una matriz ortogonal cuyo transpuesto es su propia inversa) como en las respuestas de Soarer.

El teorema espectral para matrices no diagonalizables da lugar a matrices nilpotentes, es decir. $$A=\sum_i (\lambda_i P_i + N_i)$$ donde $P_iP_j = \delta_{ij} P_j$ , $N_iP_i=N_i$ etc. ( $P_i$ son matrices de proyección y $N_i$ son matrices nilpotentes correspondientes a los valores propios $\lambda_i$ ).

Answer 5

Cierto. Si consideras una matriz diagonal $A = \mathrm{diag}(d_1,\cdots,d_n)$ donde cada entrada diagonal $d_i$ es positiva, entonces claramente es definida positiva, ya que $x^TAx = \sum d_ix_i^2 > 0$ a menos que $x = 0$ ( $x_i$ son los componentes del vector $x$ .)

Aplique ahora el teorema espectral para matrices simétricas para reducir al caso diagonal.