Si los valores propios son positivos, ¿es la matriz definida positiva?

Question

Si la matriz es definida positiva, todos sus valores propios son estrictamente positivos.

¿Es también cierto lo contrario?
Es decir, si los valores propios son estrictamente positivos, ¿la matriz es definida positiva?
¿Puede dar un ejemplo de $2 \times 2$ matriz con $2$ valores propios positivos pero no es definida positiva?

Answer 1

En general, la inversa no es cierta, pero si suponemos que nuestra matriz M es Hermitiana entonces lo contrario también es cierto. Suponiendo que nuestra matriz es Hermitiana tenemos que es diagonalizable unitaria que se utiliza para demostrar que es definida Positiva.

Answer 2

Para que una matriz sea definida positiva:

1) debe ser simétrico 2) todos los valores propios deben ser positivos 3) no debe ser singular 4) todos los determinantes (desde arriba a la izquierda por la diagonal hasta abajo a la derecha, no sólo el determinante de toda la matriz) deben ser positivos.

Si se representa una matriz definida positiva de 2x2, debe tener el aspecto de un cuenco. Si la matriz es singular, es una depresión que sigue al vector que lleva la matriz a cero. Si la suma de los términos cruzados es mayor que la traza, el gráfico es una silla de montar en cero.