Es correcto que si un número natural $10^n+89$ es un cuadrado perfecto, a continuación,$n=3$?
La respuesta es clara si $n$ es un número par. Por extraño $n$ puedo demostrar que $10^n+89$ puede ser un cuadrado perfecto, sólo si $n=22m+3$...
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
No fue un buen punto de mathlove, la restricción de la base a de un número fijo $(10)$ permite el cálculo de tres curvas de Mordell. La mala noticia es que ni Magma ni Sabio está dispuesto a hacer el final. Voy a publicar los dos primeros. Mirando de nuevo, parece que el OP también fue capaz de encontrar soluciones para las dos primeras curvas, pero no el tercero. Mirando a través de artículos en el cálculo escrito después del año 2005, dicen, parece que la mayoría de las curvas de $y^2 = x^3 + k$ $|k| \leq 100000$ se han hecho, pero tal vez no todos, y en cualquier caso no están en ninguna conveniente sitios web. Parece que $|k| > 100000$, es probable que nadie haya terminado el trabajo.
Método: que yo no había escrito, sólo parecía correcto. Sin embargo, si $$ y^2 = 10^{6k+3} + 89, $$ take $x = 10^{2k+1}$ para obtener $$ y^2 = x^3 + 89. $$ Si $$ u^2 = 10^{6k+1} + 89, $$ $$ 100u^2 = 10^{6k+3} + 8900, $$ tome $y = 10 u, \; \;x = 10^{2k+1}$ para obtener $$ y^2 = x^3 + 8900. $$ Si $$ v^2 = 10^{6k+5} + 89, $$ $$ 10000v^2 = 10^{6k+9} + 890000, $$ tome $y = 100 v, \; \;x = 10^{2k+3}$ para obtener $$ y^2 = x^3 + 890000. $$
Meanwhile, note that there is an excellent selection of literature on Ramanujan-Nagell and Lebesgue-Nagell. https://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan%E2%80%93Nagell_equation The bad news is that the vast majority of explicit solutions is for $x^2 + C = y^n$ where $C>0.$ Para aquellos, muchos artículos de interés pueden ser descargados de forma gratuita.
DOS DE LAS TRES CURVAS DE MORDELL
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http://tnt.math.se.tmu.ac.jp/simath/MORDELL/MORDELL+
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E_+00089: r = 2 t = 1 #III = 1
E(Q) = <(-2, 9)> x <(-4, 5)>
R = 1.2904854192
8 integral points
1. (-2, 9) = 1 * (-2, 9)
2. (-2, -9) = -(-2, 9)
3. (55, 408) = -1 * (-2, 9) + 1 * (-4, 5)
4. (55, -408) = -(55, 408)
5. (-4, 5) = 1 * (-4, 5)
6. (-4, -5) = -(-4, 5)
7. (10, 33) = -1 * (-2, 9) - 1 * (-4, 5)
8. (10, -33) = -(10, 33)
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E_+08900: r = 3 t = 1 #III = 1
E(Q) = <(-20, 30)> x <(40, 270)> x <(20, 130)>
R = 2.4097371874
24 integral points
1. (5, 95) = 1 * (-20, 30) - 1 * (40, 270)
2. (5, -95) = -(5, 95)
3. (-20, 30) = 1 * (-20, 30)
4. (-20, -30) = -(-20, 30)
5. (440, 9230) = -2 * (-20, 30)
6. (440, -9230) = -(440, 9230)
7. (40, 270) = 1 * (40, 270)
8. (40, -270) = -(40, 270)
9. (-4, 94) = -1 * (-20, 30) - 1 * (40, 270)
10. (-4, -94) = -(-4, 94)
11. (340, 6270) = -1 * (40, 270) + 1 * (20, 130)
12. (340, -6270) = -(340, 6270)
13. (23245, 3544005) = 2 * (-20, 30) - 1 * (40, 270) + 1 * (20, 130)
14. (23245, -3544005) = -(23245, 3544005)
15. (16, 114) = 1 * (-20, 30) - 1 * (20, 130)
16. (16, -114) = -(16, 114)
17. (20, 130) = 1 * (20, 130)
18. (20, -130) = -(20, 130)
19. (200, 2830) = 1 * (-20, 30) - 1 * (40, 270) - 1 * (20, 130)
20. (200, -2830) = -(200, 2830)
21. (-11, 87) = 1 * (40, 270) + 1 * (20, 130)
22. (-11, -87) = -(-11, 87)
23. (3685, 223695) = 1 * (-20, 30) - 2 * (20, 130)
24. (3685, -223695) = -(3685, 223695)
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Permítanme lanzar en
Magma
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Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 89 over Rational Field
Torsion Subgroup is trivial
Analytic rank = 2
The 2-Selmer group has rank 2
New point of infinite order (x = -4)
New point of infinite order (x = -2)
After 2-descent:
2 <= Rank(E) <= 2
Sha(E)[2] is trivial
(Searched up to height 100 on the 2-coverings.)
[ (-4 : -5 : 1), (-2 : -9 : 1), (10 : 33 : 1), (55 : -408 : 1) ]
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Elliptic Curve defined by y^2 = x^3 + 8900 over Rational Field
Torsion Subgroup is trivial
Analytic rank = 3
The 2-Selmer group has rank 3
New point of infinite order (x = 16)
New point of infinite order (x = 40)
New point of infinite order (x = -20)
After 2-descent:
3 <= Rank(E) <= 3
Sha(E)[2] is trivial
(Searched up to height 100 on the 2-coverings.)
[ (-20 : 30 : 1), (-11 : -87 : 1), (-4 : -94 : 1), (5 : -95 : 1), (16 : 114 :
1), (20 : -130 : 1), (40 : 270 : 1), (200 : 2830 : 1), (340 : -6270 : 1), (440 :
-9230 : 1), (3685 : 223695 : 1), (23245 : -3544005 : 1) ]
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vrugtehagel
Puntos
256
Este es un semi-prueba de que hay sólo un número finito de soluciones. Yo uso el abc de la conjetura de aquí, que hasta ahora no ha sido confirmado para ser probado (aunque Shinichi Mochizuki claimes para tener una prueba, de ahí mi "semi-prueba").
El abc de la conjetura.
Dado $a,b,c>0$$a+b=c$$\gcd(a,b,c)=1$, para cada $\epsilon>0$ existe un $K_\epsilon$ tal que $$c<K_\epsilon\operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}$$ donde $\operatorname{rad}(x)$ denota el producto de los distintos factores primos de a $x$.
Por lo tanto, dado que el $10^n+89=s^2$, sabemos que para cada $\epsilon>0$ existe un $K_\epsilon$ tal que
$$s^2<K_\epsilon\operatorname{rad}(10^n\cdot 89\cdot s^2)^{1+\epsilon}$$
tenga en cuenta que $\operatorname{rad}(abc)=\operatorname{rad}(a)\operatorname{rad}(b)\operatorname{rad}(c)$ (por pares coprime $a,b,c$, y el aviso de que $10^n$, $89$ y $s^2$ son parejas coprime). Así \begin{align} s^2&<K_\epsilon\operatorname{rad}(10^n\cdot 89\cdot s^2)\\ &=K_\epsilon\left(\operatorname{rad}(10^n)\operatorname{rad}(89)\operatorname{rad}(s^2)\right)^{1+\epsilon}\\ &=K_\epsilon\cdot\left(10\cdot 89\cdot \operatorname{rad}(s)\right)^{1+\epsilon}\\ &=K_\epsilon\cdot890^{1+\epsilon}\operatorname{rad}(s)^{1+\epsilon}\\ &\leq K_\epsilon\cdot890^{1+\epsilon}s^{1+\epsilon} \end{align} lo que significa que
$$s^2<K_\epsilon\cdot890^{1+\epsilon}s^{1+\epsilon}$$
y dividiendo por $s^{1+\epsilon}>0$ da
$$s^{1-\epsilon}<K_\epsilon\cdot890^{1+\epsilon}$$
para una fija $\epsilon>0$, $K_\epsilon$ es fija, y así es $890^{1+\epsilon}$, por lo que hay en la mayoría de un número finito de soluciones para $s$ (desde $s$ es positiva y acotada arriba por $\sqrt[1-\epsilon]{K_\epsilon890^{1+\epsilon}}$). Por desgracia, no sabemos lo $K_\epsilon$ (excepto el límite inferior $K_\epsilon>\frac{33}{890}29370^{-\epsilon}$ que podemos encontrar el uso de la única solución que tenemos), por lo que lamentablemente todavía no podemos descartar aquellos un número finito de posibilidades para obtener sólo $s=33$ (que es la solución a $n=3$).
