Si $f(x)$ es un polinomio de satisfacciones $ f(x)f(\frac 1x) = f(x)+f(\frac 1x)$$f(3)=28$, entonces ¿cómo podríamos encontrar en $f(4)$?

Question

Si $f(x)$ es un polinomio de satisfacciones $ f(x)f(\frac 1x) = f(x)+f(\frac 1x)$ and $f(3)=28$, then how could we find $f(4)$ ?

Answer 1

La solución de la ecuación funcional para $f\left(\frac{1}{x} \right) = \frac{f(x)}{f(x)-1}$. Esto significa que $f(x)-1$ debe ser un monomio. Deje $f(x) = 1 + c x^d$. Entonces $$ c \left( \frac{1}{x} \right)^d +1 = \frac{1}{c} \left( \left( \frac{1}{x} \right)^d + c \right) $$ Esto, implica $c^2 = 1$. Ahora uso $f(3) = 28$ a un determinado $c$$d$. Desde $28 = 1 + 1 \times 3^3$, llegamos a la conclusión de $c=1$$d=3$.

Por lo tanto $f(4) = 1 + 4^3 = 65$.