Logarítmica de la ecuación de la prueba

Question

¿Cómo puedo demostrar que esta afirmación es verdadera?

$$\frac{1}{\log(\log(n))} \ge \frac{1}{\log(\log(n+1))}$$

Solo tengo este.

$$\log(\log(n+1)) \ge \log(\log(n))$$

Lo siento por tal una pregunta estúpida, pero me he olvidado casi todo acerca de las ecuaciones logarítmicas.

Answer 1

$$n\le n+1\\ \log { n } \le \log { \left( n+1 \right) } \\ \log { \left( \log { n } \right) \le \log { \left( \log { \left( n+1 \right) } \right) } } \\ \frac { 1 }{ \log { \left( \log { n } \right) } } \ge \frac { 1 }{ \log { \left( \log { \left( n+1 \right) } \right) } } $$

Las inecuaciones mantiene cuando ambos lados están en el mismo signo

Answer 2

Sugerencia:

Las funciones logarítmicas son monótonamente creciente en su dominio. Es decir, si $a>b$,$\log a > \log b$.

Además, para los positivos $a$ $b$ si $a>b$,$1/a<1/b$.

Answer 3

TL;DR

Si y sólo si está bien que

$$0 \lt \log{(\log{(n)})} \le \log{(\log{(n+1)})}$$

O

$$\log{(\log{(n)})} \le \log{(\log{(n+1)})} \lt 0$$

A continuación, puede simplemente saltar a la conclusión de:

$$\frac {1}{\log{(\log{(n)})}} \ge \frac {1}{\log{(\log{(n+1)})}}$$

Desde la inversa de la función es estrictamente decreciente en el positivo de dominio y en el negativo.

(No demasiado) versión larga

En realidad, da lo que tiene:

$$\log{\log{(n)}} \le \log{(\log{(n+1)})}$$

Es que no siempre es verdad que

$$\frac {1}{\log{(\log{(n)})}} \ge \frac {1}{\log{(\log{(n+1)})}}$$

Sobre todo que no se especifica la base de que usted está utilizando para el logaritmo de la función. Por ejemplo, si usted está utilizando el logaritmo natural (es decir, "base -$e$"), a continuación, tome $n=2$:

$$\log{(n)} = \ln{(2)} \approx 0.693$$ $$\log{(n+1)} = \ln{(3)} \approx 1.099$$

Lo que conduce a

$$\log{(\log{(n)})} = \ln{(\ln{(2)})} \approx \ln{(0.693)} \approx -0.367$$ $$\log{(\log{(n+1)})} = \ln{(\ln{(3)})} \approx \ln{(1.099)} \approx 0.094$$

Usted puede ver a dónde va esto! Seguro que lo que te han dado aún se mantiene, es decir, que $\log{(\log{(n)})} \le \log{(\log{(n+1)})}$, pero aplicando la inversa de la función en este punto, en realidad iba a conservar el orden, ya que lo que realmente tenemos es

$$\log{(\log{(n)})} \lt 0 \lt \log{(\log{(n+1)})}$$

Lo que conduce a

$$\frac {1}{\log{(\log{(n)})}} \lt 0 \lt \frac {1}{\log{(\log{(n+1)})}}$$

Debido a la inversa de la función sólo es estrictamente decreciente en cada lado del eje por separado, considerando que cada punto en el lado derecho es estrictamente mayor que cada punto en el lado izquierdo (función inversa de -4.2 a 4.2).

El punto de todo esto es resaltado en el TL;DR de la sección: lo que necesita saber de antemano que $\log{(\log{(n)})}$ $\log{(\log{(n+1)})}$ son tanto de carácter estrictamente positiva o estrictamente negativo para todos los de este trabajo.

Ahora bien, si la base del logaritmo de la función es un número entero, entonces usted no tendrá este problema ya que no hay dos números enteros consecutivos (suponiendo que son, de hecho, el uso de $n$ a indicar un entero) que se aplica dos veces a un número entero (base del logaritmo de la función, dar dos resultados con signos opuestos. Sin embargo, uno de los resultados puede ser$0$, en cuyo caso la inversa no está definido aún...

Answer 4

$$e^{e^{\log(\log(n+1))}}=e^{\log(n+1)}=n+1$$ Usted debe ser capaz de tomar de allí.

Answer 5

log(x) es una función monótonamente creciente

1/x es un monótonamente decreciente de la función

disminución(aumento(aumento)) = disminución de