'Integral' de una de Weierstrass $ \wp $-función.

Question

Estoy revisando para mi final y he visto una pregunta que pide: Hay una función de meromorphic $f: \mathbb{C}/\Lambda \to \mathbb{P}^1$ tal que $f' = \wp$?

Hay una pista que dice considerar los polos de una función de este tipo, y estoy bastante seguro de que no hay tal función puede existir, pero si alguien pudiera darme una prueba o más sugerencia estaría muy agradecido.

Answer 1

Permítanme presentarles a una función conocida como la $\zeta$ de Weierstrass ($\zeta: \mathbb{C}\backslash \Lambda \to \mathbb{P}^1$, consulte edición de 2 para el caso de $f:\mathbb{C} / \Lambda \to \mathbb{P}^1$), permítanme demostrar a usted todo lo que necesita saber acerca de esta función.

DEFINICIÓN: se define la función de $\zeta$ de Weierstrass de la siguiente manera $$ \zeta(z)=\frac{1}{z} + {\sum \limits_{\omega \en \Lambda}} ' \left[\frac{1}{z-\omega}+\frac{1}{\omega} + \frac{z}{\omega^2}\right] $$

Reclamación $\zeta'=-\wp$

PRUEBA Es fácil de muestra* (ver la edición de 1 a continuación) que el de la serie que aparecen en la definición de la función $\zeta$ converge uniformemente en $\mathbb{C}\backslash \Lambda$, entonces podemos diferenciar de los de término por término, dando \begin{align*} \frac{d}{dz}\zeta(z) & = -\frac{1}{z^2} + {\sum \limits_{\omega \in \Lambda}} ' \left[-\frac{1}{(z-\omega)^2} + \frac{1}{\omega^2}\right]\\ & = - \left( \frac{1}{z^2} + {\sum \limits_{\omega \in \Lambda}} ' \left[\frac{1}{(z-\omega)^2} - \frac{1}{\omega^2}\right]\right) = -\wp(z) \ \ \ \blacksquare \end{align*} Por último ten en cuenta que para todas las $\omega \in \Lambda $ $$ \lim_{z\a \omega} (z-\omega)\zeta(z)=1 $$ A continuación, el $\zeta$ función es, de hecho, meromorphic ya que tiene un simple polo en cada una de las $\omega \in \Lambda$, con parte de capital $$ \frac{1}{z-\omega} $$

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EDICIÓN 1* Para mostrar que la serie en $\zeta$ converge uniformemente sólo se necesita el siguiente resultado, el cual es presentado a veces como una definición de la $\zeta$:

Lema de La $\zeta$ función de Weierstrass cumple que $$ \zeta(z)=\frac{1}{z} - \int_{0}^{z} \left( \wp(u)-\frac{1}{u^2} \right)du $$ donde $\int_0^z$ es la integral de línea sobre una subsanables en la ruta $\gamma$, $0$ $z$sin pasar por cualquiera de los puntos de $\Lambda$.

PRUEBA de su conocimiento previo sobre el $\wp$ función que saber que la serie $\wp(u)-1/u^2$ converge uniformemente en $\mathbb{C}\backslash \Lambda$, entonces se puede integrando término a término \begin{align*} \int\limits_{0}^{z} \left( \wp(u)-\frac{1}{u^2} \right)du & ={\sum \limits_{\omega \in \Lambda}} ' \int\limits_{0}^{z} \left[\frac{1}{(u-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}\right]du \\ & ={\sum \limits_{\omega \in \Lambda}} ' \left[\int\limits_{0}^{z} \frac{du}{(u-\omega)^2}-\int\limits_{0}^{z} \frac{du}{\omega^2}\right] \\ & ={\sum \limits_{\omega \in \Lambda}} ' \left[\frac{-1}{(u-\omega)^2}\Big|_0^z-\frac{u}{\omega^2}\Big|_0^z\right]\\ & ={\sum \limits_{\omega \in \Lambda}} ' \left[-\frac{1}{(z-\omega)^2}-\frac{1}{\omega^2}-\frac{z}{\omega^2}\right] = \frac{1}{z}-\zeta(z) \ \ \ \blacksquare \end{align*} Luego, por supuesto, ya que la serie en $\zeta$ es obtenido mediante la integración de un uniformemente convergente la serie, entonces se deben converger de manera uniforme. __________________________________________________________

EDIT 2 Como se señaló en los comentarios de la $\zeta$ no es una función elíptica, ya que todas las singularidades son simples polos (también puede ser mostrado $\zeta(z+2\omega_j)=\zeta(z)+2\eta_j$ donde $\omega_j$ son la mitad de los períodos de generación de $\Lambda$, y el $\eta_j$ se obtienen a partir de la Legendre Relaciones). Entonces, esto también demuestra que la dosis no existe una función de $f: \mathbb{C}/\Lambda \to \mathbb{P}^1$ tal que $f'=\wp$, ya que de nuevo $-\zeta$ no es una elíptica de la función.

Así que la función $\ f$ usted está buscando debe ser $\ f=-\zeta$, pero ya no es una elíptica, $\ f$ de la dosis no existen.

Obs Este ejercicio muestra que, a pesar de que las funciones elípticas son cerrados bajo la diferenciación no están bajo la integración.