Aquí hay dos ejemplos en los que es útil para omitir la igualdad.
De segundo orden de la aritmética
En el contexto de segundo orden aritmético, trabajamos con los dos clasificados de la lógica de primer orden. Hay dos tipos de objetos: "números naturales" y "conjuntos de números naturales". Incluimos el signo de igualdad para los números, pero no para los conjuntos de números. En su lugar, la igualdad de los conjuntos de los números es visto como una abreviatura de:
$$
X = Y \quad \text{significa} \quad (\forall n)(n \X \leftrightarrow n \en Y).
$$
La motivación para esto es que la igualdad de los números naturales es decidable de una manera intuitiva: dados dos números concretos, podemos saber si son el mismo. También, saber si un número dado es o no es en un determinado conjunto es visto como decidable. Pero saber si dos (posiblemente infinita) conjuntos de números son iguales es mucho más difícil. Hay en particular los resultados acerca de la dificultad de decidir atómica fórmulas en modelos de segundo orden de la aritmética que no podrían mantener si incluimos la igualdad de conjuntos en el lenguaje basic.
La teoría de conjuntos
Un segundo ejemplo es tradicional axiomatizations de la teoría de conjuntos, que incluyen sólo la membresía símbolo, $\in$, no el símbolo de la igualdad. La igualdad se define a partir de $\in$: dos conjuntos son iguales si tienen los mismos miembros. En este contexto, la motivación para la eliminación de la igualdad es para ser más parsimonioso con los conceptos básicos. En el lenguaje tradicional de la teoría de conjuntos, sólo hay una undefined symbol, $\in$, en lugar de dos undefined symbols $\in$$=$.
