Mostrar que $f_{\alpha}(t)$ es una p.d.f.

Question

Vamos $\displaystyle \phi(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-t^2/2}$,$t\in \Bbb R$ ser el estándar normal de la función de densidad de y $\displaystyle \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\phi(t)\,dt$ ser el estándar de la distribución normal de la función. Vamos $f_{\alpha}(t)=2\phi(t)\Phi(\alpha t)$,$t\in \Bbb R$ donde $\alpha \in \Bbb R$. Mostrar que $f_{\alpha}$ es una función de densidad de probabilidad.

tenemos $\Phi'(x)=\phi(x)$. Tenemos que mostrar que $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f_{\alpha}(t)\,dt=1$. He intentado a través de la integración por partes, pero tengo el valor es $0$. Dosis hay algún otro proceso o ¿dónde está mi error.?

Editar :

$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f_{\alpha}(t)dt= 2\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\Phi(\alpha t)\,dt=2\left[\Phi(\alpha t)\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\,dt\right]_{-\infty}^{\infty}-2\int_{-\infty}^{\infty}\left[\alpha\Phi'(\alpha t).\int_{-\infty}^{\infty}\phi(t)\,dt\right]\,dt=2[\Phi(\infty)-\Phi(-\infty)]-2\int_{-\infty}^{\infty}\alpha\phi(\alpha t)\,dt=\cdots=0$

Answer 1

Probabilística interpretación: considere el $(X,Y)$ i.yo.d. normal estándar, a continuación, $\Phi(at)=P(X<at)$ $\varphi$ es el PDF de $Y$ por lo tanto $$\int_{-\infty}^\infty 2\varphi(t)\Phi(at)dt=\int_{-\infty}^\infty 2\varphi(t)P(X<at)dt=2P(X<aY)=2P(Z<0)$$ where $Z=X-aY$ is centered normal with nonzero variance, hence $P(Z<0)=\frac12$ and the integral on the LHS is $1$, como se desee.

Answer 2

$ \begin{align*} \frac{d}{d\alpha}\int_{-\infty}^{\infty}f_{\alpha}(t)\,dt&=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{d\alpha}f_{\alpha}(t)\,dt \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{d\alpha}\left(2\phi(t)\int_{-\infty}^{\alpha t}\phi(s)\,ds\right)dt \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}2t\phi(t)\phi(\alpha t)\,dt \\ &=0 \end{align*} $

puesto que el integrando es impar. Por lo tanto, $\int_{-\infty}^{\infty}f_{\alpha}(t)\,dt$ es igual a su valor inicial en $\alpha=0$$1$.