Encontrar el mínimo valor de $abc$ si la ecuación cuadrática $ax^2-bx+c = 0$ tiene dos raíces en $(0,1)$

Question

Si $$ ax^2-bx+c = 0 $$ tiene dos raíces reales distintas en (0,1) donde a, b, c son números naturales, a continuación, encontrar el valor mínimo de producto abc ?

Answer 1

Desde $a,b,c $ son positivas las raíces son trivialmente mayor que 0.

Lo que queda es resolver la desigualdad:

$\frac{b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} <1$

Esto se reduce a $ a+c>b$

Pero las raíces reales y distintas, tenemos $b^2 >4ac$

La combinación de ambos, tenemos :

$a^2 + c^2 + 2ac > b^2 > 4ac$

$b^2 > 4ac$ nos dice $b> 2$ (por qué?)

$ a^2 + c^2+ 2ac > 4ac $ nos dice $a \neq c$

Comprobación de la pequeña casos se obtiene $(a,b,c) =(5,5,1)$ donde $abc =25$

EDITAR:

La comprobación de los "pequeños" de los casos no es de carácter informativo, por lo que añadir una explicación:

Teniendo en cuenta $a+c>b$, el valor mínimo de $ac$ se produce cuando $a=b$$c=1$. Así que para determinado $b$, el mínimo de $abc$$b^2$. El menor valor de $b$ que está de acuerdo con la desigualdad de $b^2>4b$ es de 5 (como $ac=b$). De ahí el correspondiente valor mínimo es de $5^2$

Answer 2

Sugerencias: Si las raíces son $\;\alpha,\,\beta\;$ , luego

$$\alpha+\beta=\frac ba\;,\;\;\alpha\beta=\frac ca\,,\,\,\text{and we can also write}\;\; abc=a^3\cdot\frac ba\cdot\frac ca\;\ldots$$