¿Qué son los números hiperreales? (Aclaración de una pregunta ya contestada)

Question

Esta pregunta ya tiene respuesta aquí . Esa respuesta es abstracta. ¿Puedes ayudarme con algunos ejemplos no tan abstractos de lo que el contestador está hablando? Por ejemplo, dar ejemplos de números hiperreales que se escriben como números, si es posible.

Otros ejemplos que me gustaría entender son estas afirmaciones:

Los números hiperreales amplían los reales. Además, los números reales forman un subconjunto de los números hiperreales.

No he entendido la respuesta a la pregunta mencionada, ya que aún no he estudiado matemáticas a nivel universitario.

Answer 1

La construcción habitual de los números hiperreales es como secuencias de números reales con respecto a una relación de equivalencia. Por ejemplo, el número real 7 puede representarse como número hiperreal mediante la secuencia $(7,7,7,7,7,\ldots)$ pero también puede representarse mediante la secuencia $(7,3,7,7,7,\ldots)$ (es decir, un número infinito de 7s pero con un 7 sustituido por el número 3). Cualquier número real $x$ puede representarse como un número hiperreal mediante la secuencia $(x,x,x,\ldots)$ . Un ejemplo de infinitesimal viene dado por la secuencia $(1,1/2,1/3,1/4,\ldots)$ que resulta ser una secuencia de números que convergen a $0$ . Un ejemplo de número infinito en los hiperreales viene dado por la secuencia $(1,2,3,4,\ldots)$ .

La relación de equivalencia es un poco complicada, así que no te diré cómo funciona, sino que sólo te diré que existe una, y que para cualquier secuencia de números hay muchas otras secuencias que corresponden al mismo número hiperreal. Esto es análogo a la construcción de los números racionales como números de la forma $a/b$ donde $a$ y $b\neq 0$ son números enteros, donde por ejemplo $2/6$ y $1/3$ se consideran equivalentes como números racionales. La relación de equivalencia para los números racionales es bastante sencilla, pero mencionaré que la relación de equivalencia para los números hiperreales no es constructiva (utiliza el axioma de elección), por lo que en general no es posible decir si dos secuencias son equivalentes como números hiperreales.

Sin embargo, cuando se trabaja con números hiperreales, la forma en que se construyeron no es importante (ya sea por el método de identificación de diferentes secuencias de números reales como el anterior, o de otra manera), y el número real 7 se llama simplemente 7 en los números hiperreales, y siempre que se necesita un infinitesimal, uno podría simplemente llamarlo $\varepsilon$ sin tener en cuenta de qué infinitesimal específico se trata.

Answer 2

Por desgracia, no existe una descripción "concreta" de los hiperreales. Por ejemplo, no hay manera de dar una descripción concreta de ningún infinitesimal específico: los infinitesimales tienden a ser "indistinguibles" unos de otros. (Se necesita un poco de trabajo para precisar esta afirmación, pero en general, infinitesimales distintos pueden compartir todas las mismas propiedades definibles. A diferencia de los números reales, que siempre podemos "distinguir" encontrando algún racional -¡que es fácil de describir! - en medio de ellos; en realidad, eso sólo equivale a mirar sus expansiones decimales, ¡y notar un lugar en el que difieren!)

Del mismo modo, todo el objeto "el campo de los hiperreales" es un objeto bastante misterioso: no es único en ningún sentido bueno (por lo que hablar de " el Los "hiperreales" no son realmente correctos), y se necesita algo de matemática seria para demostrar que incluso existe, mucho más de lo que se requiere para construir los reales.

Mientras que los hiperreales dan pruebas mucho más intuitivas de muchos teoremas del análisis, como estructura son mucho menos intuitivos en mi opinión, en gran parte por las razones anteriores.

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Para responder a tu otra pregunta, sí, los reales son (isomorfos a) un subconjunto de (cualquier versión de) los hiperreales; eso es lo que se quiere decir con que los hiperreales extienden los reales.

Answer 3

Suponiendo que te refieres a tu pregunta en el sentido práctico y no sobre hacer fundamentos lógicos... imagina en tu mente los números reales: esa imagen es exactamente cómo se ven los números hiperrealistas.

Ni siquiera estoy exagerando. Los números hiperreales, junto con el resto del modelo no estándar de matemáticas en el que están contenidos, está cuidadosamente diseñado para tener exactamente las mismas propiedades que los números reales dentro del modelo estándar.

De hecho, en algunos enfoques filosóficos del tema (por ejemplo, cómo se podría interpretar teoría de conjuntos internos ), es el hiperreales dentro del modelo no estándar que es en realidad lo que los matemáticos han estado estudiando durante los últimos milenios.

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Salvo algunas aplicaciones esotéricas, sólo se consideran los hiperreales en el contexto de análisis no estándar que consiste en hacer comparaciones entre el modelo estándar y un modelo no estándar. Uno no puede obtener el sabor de la NSA preguntando "¿cómo son los hiperreales?" - uno tiene que hacer la pregunta "¿cómo se comparan los reales y los hiperreales?".

En las formulaciones habituales, la principal característica distintiva es que todo número real es también un número hiperreal, y que todos los hiperreales finitos se pueden dividir según su parte estándar .

Es decir, si $x$ es un hiperreal finito, hay algún real $r$ tal que $r-x$ es un hiperreal infinitesimal.

Dicho a la inversa, a cada número real $r$ hay un halo de hiperreales que rodea a $r$ que están a una distancia infinitesimal de $r$ y estos halos dividen los hiperreales finitos.

Si está dispuesto a continuar con el números reales extendidos (es decir $\pm \infty$ ), entonces los hiperreales no finitos se encuentran en los halos * de $\pm \infty$ dependiendo de si son positivos o negativos.

El libro de Keisler utiliza la analogía de un microscopio. En un nivel, estás estudiando los reales estándar, y en cualquier momento puedes elegir un real y "acercarte" para mirar su halo de reales no estándar con esa parte estándar.

_{*: Hay que tener en cuenta que algunas fuentes definen el halo de una manera diferente, por lo que esta afirmación ya no es cierta.}