Donde es el valor absoluto cuando computación antiderivatives?

Question

Aquí es típico del segundo semestre de una sola variable cálculo pregunta:

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx $$

Los estudiantes son probablemente enseñó a memorizar el resultado de este ya que el derivado de la $\arcsin(x)$ se enseña como una regla para memorizar. Sin embargo, si vamos a intentar y encontrar una antiderivada, se podría poner

$$ x = \sin \theta \quad \implies \quad dx = \cos \theta \, d \theta $$

por lo que la integral se puede escribir como

$$ \int \frac{\cos \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}} \, d \theta = \int \frac{\cos \theta}{\sqrt{\cos^2 \theta}} \, d \theta $$

En este punto, los estudiantes luego de simplificar el denominador sólo $\cos \theta$, que hierve la integral de abajo a

$$ \int 1 \, d \theta = \theta + C = \arcsin x + C $$

cual es la manera correcta de antiderivada. Sin embargo, por definición, $\sqrt{x^2} = |x|$, lo que implica que la integral anterior que en realidad debería ser simplificado para

$$ \int \frac{\cos \theta}{|\cos \theta|} \, d \theta = \int \pm 1 \, d \theta $$

dependiendo del intervalo de $\theta$. En este punto, parece que la respuesta que nos eventualmente llegarán a es diferente de lo que sabe la respuesta correcta.

Por qué es el primer camino correcto aunque no estamos simplificando correctamente, mientras que la segunda forma es... raro... a la vez que simplifica correctamente?

Answer 1

La función que se integra sólo está definida en el intervalo $(-1,1)$. Queremos un bijective relación; por lo tanto, cuando se sustituye $x=\sin(\theta)$ nos de la fuerza de $\theta$ a sólo toman valores entre el$-\frac{\pi}{2}$$\frac{\pi}{2}$, lo que nos da nuestra bijection. Tenga en cuenta que $\cos(x)$ es positivo en esta región, por lo que podemos dejar el valor absoluto.

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Anexo

Uno se puede preguntar ¿qué pasa si tenemos un intervalo de $\theta$,$[\pi/2,3\pi/2]$. Todo funciona de la misma hasta llegar a la respuesta $-\theta+c$, lo que da una respuesta de $-\arcsin(x)+c$. Esto puede parecer confuso, pero recuerde que esto $\arcsin$ función es distinta a la que estamos acostumbrados; es la inversa de a $\sin(x)$ en el intervalo de $[\pi/2,3\pi/2]$, en lugar del habitual $[-\pi/2,\pi/2]$. Lo que esto produce es un $\arcsin$ función que es volteado horizontalmente alrededor de la $y$-eje y se desplaza superior. Sin embargo, tenga en cuenta que el signo negativo tenemos invierte la función de la espalda, y luego la constante de integración de la cuenta para el desplazamiento vertical.

Si la visual es deseado, aquí la tiene. La púrpura de la curva es el $\arcsin(x)$ a que estamos acostumbrados (asociado con el verde de la sección de la curva sinusoidal) y el naranja de la curva de si el "nuevo" $\arcsin(x)$ (asociada con la sección roja de la curva sinusoidal)

Answer 2

Deje $\operatorname{sgn}(x)$ ser la función que toma valores de $-1, 0, 1$ dependiendo del signo de $x$.

Por el bien de la generalidad, si se tienen dos variables $x$ $\theta$ relacionados por $x = \sin \theta$ y la raíz cuadrada símbolo significa siempre la raíz cuadrada positiva, luego de la apertura del post es correcto: el derecho a la fórmula relacionados con los diferenciales es

$$ \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{sgn}(\cos(\theta)) \mathrm{d} \theta $$

Ahora, una cosa a tener en cuenta es que el dominio de estas funciones excluye $x = \pm 1$; del mismo modo, se excluye a los valores de $\theta$ que $\cos(\theta) = 0$.

En este dominio, $\operatorname{sgn}(\cos(\theta))$ es localmente constante. En esta situación, el dominio consiste en una serie de intervalos disjuntos $$\ldots \cup (-3\pi/2, -\pi/2) \cup (-\pi/2, \pi/2) \cup (\pi/2, 3\pi/2) \cup \ldots$$ "Localmente constante" significa que cualquier función que es constante en cada uno de estos intervalos, pero pueden tener diferentes valores en diferentes intervalos.

Casi en todas partes, en cálculo donde has aprendido algo que involucren constantes es en realidad acerca de las cosas que son localmente constante

Por ejemplo, desde la $\operatorname{sgn}(\cos(\theta))$ es localmente constante, su antiderivatives son todos de la forma

$$ \operatorname{sgn}(\cos(\theta)) \theta + C(\theta) $$

donde $C(\theta)$ también es localmente constante. (tenga en cuenta que necesitamos un local de la constante de integración, no sólo una constante de integración!)

Ahora, si fuéramos tan inclinado, podemos extender esta fórmula para el dominio de todos los $\theta$ por el forro todas las constantes. El resultado final es que la antiderivada es una constante más el diente de sierra de la función se muestra a continuación:

_{Imagen producida por Wolfram alpha}

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Como un ejemplo de ver cómo este trabajo, supongamos que nuestro objetivo era calcular la integral

$$ \int_{-1}^1 \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}} $$

A pesar de ser inusual, podemos reescribir esto como

$$ \int_{-\pi/2}^{5\pi/2} \operatorname{sgn}(\cos(\theta)) \mathrm{d} \theta $$

Este no es invertible, sustitución, ya que cada valor de $x$ corresponde a tres diferentes valores de $\theta$ (salvo un par de excepciones). Pero de una dimensión de la integración es muy robusto, y que aún debe esperar para obtener la respuesta correcta si tenemos el derecho de detalles.

Y lo hacemos; si tomamos el diente de sierra de las funciones anteriores como la antiderivada, entonces la integral se convierte en

$$ \left( \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi $$

cual es la respuesta correcta — y la misma respuesta que nos iba a llegar sólo por la integración de más de $(-\pi/2, \pi/2)$.

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Por supuesto, si no estamos interesados en la mayor generalidad, podemos simplificar insistiendo en que $\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ y tome $\theta + C$ como la antiderivada, evitando así problemas con la señal.

Answer 3

Esta es una buena pregunta. Tenga en cuenta que el dominio de la función arcoseno, $\arcsin(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}\,dt$$|x|\le1$.

Por lo tanto, en cumplimiento de la sustitución de $t=\sin(\theta)$, entonces para $|\theta|\le \pi/2$, $\cos (\theta)\ge 0$.

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Podríamos haber elegido alternativamente $\theta \in (-\pi/2+n\pi,\pi/2+n\pi)$ a partir de la cual podemos ver que

$$\text{sgn}\left(\cos(\theta)\right)=\begin{cases}1&,n\,\,\text{even}\\\\-1&,n\,\,\text{odd}\end{cases}$$

Para valores impares de $n$, la sustitución de $x=\sin(\theta)$ rendimientos

$$\begin{align} \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx&=-\theta +C\\\\ &=-\arcsin(x)+C\\\\ &=n\pi -\arcsin(x)+C'\\\\ &=\arcsin(x)+C' \end{align}$$

Y, por lo tanto, la antiderivada $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx=\arcsin(x)+C$ es válido independientemente de si $n$ es par o impar.

Answer 4

Porque en las integrales como esto, nosotros hacemos la sustitución de $x=\sin\theta$ con un adicional de suposición de que $\displaystyle \theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$. Que lugares $\theta$ en el cuarto y primer cuadrantes sólo. Y aunque es cierto que debemos decir que el $\sqrt{\cos^2\theta}=|\cos\theta|$, en tanto estos cuadrantes coseno es no negativo, y así podemos seguir para simplificar $\sqrt{\cos^2\theta}=|\cos\theta|=\cos\theta$.

Answer 5

En este problema, estamos considerando la función seno sólo en el intervalo de $-\pi/2$ $+\pi/2,$y en ese intervalo el coseno está en todas partes no negativo.

PS: $\ldots\,$y haber publicado eso, veo que varios otros han dicho lo mismo, y por supuesto que debe sorprender a nadie. He de seguridad de votación de todos ellos. Así que permítanme añadir que tal vez la manera en que me iba a encontrar la anti-derivada es mediante la búsqueda de la derivada usando la regla de la cadena (la regla de la cadena es la diferenciación por sustitución en lugar de la integración por sustitución).

\begin{align} y & = \arcsin x \\[4pt] x & = \sin y \\ 1 & = (\cos y) \frac {dy}{dx} \\[8pt] \frac 1 {\cos y} & = \frac{dy}{dx} \\[10pt] \frac 1 {\sqrt{1-\sin^2 y}} & = \frac {dy}{dx} \\[10pt] \frac 1 {\sqrt{1-x^2}} & = \frac{dy}{dx} \end{align}