El arquitecto de la respuesta, mientras explicaba la absolutamente crucial hecho de que $\sqrt{308642}\approx 5000/9=555.555\ldots$, no está claro por qué tenemos varias pistas de repetir decimales. Yo a tratar de arrojar luz adicional para que el uso de una herramienta diferente.
Quiero hacer hincapié en el papel de el binomio de la serie. En particular, la expansión de Taylor
$$
\sqrt{1+x}=1+\frac x2-\frac{x^2}8+\frac{x^3}{16}-\frac{5x^4}{128}+\frac{7x^5}{256}-\frac{21x^6}{1024}+\cdots
$$
Si sustituimos en $x=2/(5000)^2=8\cdot10^{-8}$, obtenemos
$$
M:=\sqrt{1+8\cdot10^{-8}}=1+4\cdot10^{-8}-8\cdot10^{-16}+32\cdot10^{-24}-160\cdot10^{-32}+\cdots.
$$
Por lo tanto
$$
\begin{aligned}
\sqrt{308462}&=\frac{5000}9M=\frac{5000}9+\frac{20000}9\cdot10^{-8}-\frac{40000}9\cdot10^{-16}+\frac{160000}9\cdot10^{-24}+\cdots\\
&=\frac{5}9\cdot10^3+\frac29\cdot10^{-4}-\frac49\cdot10^{-12}+\frac{16}9\cdot10^{-20}+\cdots.
\end{aligned}
$$
Esto explica tanto las pistas, sus puntos de partida, así como el origen y la ubicación de los dígitos extra no parte de cualquier carrera. Por ejemplo, la ejecución de $5+2=7$s comienza cuando los dos primeros términos de la anterior serie son "activos". Cuando el tercer término se une, tenemos que restar un $4$ y una carrera de $3$s sobreviene et cetera.
