Mucha de la teoría algebraica de números fue inventado a través tratando de demostrar el último teorema de Fermat y otros Diophantine problemas.
Por ejemplo, si yo le preguntara a usted para resolver la ecuación $x^2 - y^2 = 5$ en números enteros es muy simple, usted puede factorise $(x+y)(x-y) = 5$ y resolver el problema mediante la vinculación a los divisores de $5 dólares, con el fin de obtener las soluciones de $x = \pm 3, y=\pm 2$.
Ahora dicen que yo pido para resolver la ecuación $y^3 = x^2 + 2$ en números enteros. Esto no es tan fácil si trabajamos íntegramente en $\mathbb{Z}$ y el uso de métodos de primaria. Sin embargo, si cambiamos el foco en un mayor anillo de los números, $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}] = \{x+y\sqrt{-2}\,|\,x,y\in\mathbb{Z}\}$, entonces el problema se convierte de nuevo en un problema multiplicativo:
$(x + \sqrt{-2})(x- \sqrt{-2}) = y^3$
de modo que la resolución de la original Diophantine en realidad es el mismo como la solución de un "producto" de estilo ecuación en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
El punto de (básico) de la teoría algebraica de números es el estudio de los anillos como este. ¿Cómo los elementos de estos anillos factorise?
En nuestro problema anterior resulta que el anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ tiene propiedades que son extrañamente cerca de las propiedades de $\mathbb{Z}$. De hecho, los elementos de este anillo "factorise únicamente" en elementos irreductibles (el análogo de números primos en $\mathbb{Z}$).
La frase "factorise el único" no tienen el significado que se podría pensar, tenemos que permitir la multiplicación de unidades (cosas que "dividir $1$"). Es el orden de $\mathbb{Z}$ nos permite considerar la única factorisations en positivo "primos".
También hay una noción de coprimality. Esto nos permite resolver nuestro problema, ya que por extraño que $x$ se puede demostrar que $x\pm\sqrt{-2}$ son coprime en $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. Pero su producto es un cubo (como en $\mathbb{Z}$), debemos tener que $x + \sqrt{-2} = (a+b\sqrt{-2})^3$ $a+b\sqrt{-2}\in \mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$. La comparación de los coeficientes le permite encontrar las posibilidades para $a,b$, por lo tanto, de $x$.
Las ideas de Cojos y Kummer fueron a estudiar FLT de la misma manera, considerando la factorización (para $\zeta$ primitivo $p$-ésima raíz de la unidad):
$z^p = x^p + y^p = (x + y)(x + \zeta y) ... (x + \zeta^{p-1} y)$
la formación de otro producto de la ecuación, ahora en el anillo de $\mathbb{Z}[\zeta]$.
Ahora, esta no es la historia completa, ya que algunos de los anillos que se estudian en la teoría algebraica de números no han única factorización. Por ejemplo, el anillo de $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ no desde:
$6 = 2\times 3 = (1+\sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5})$
da dos totalmente diferentes factorisations de $6 dólares. En realidad, el anillo de $\mathbb{Z}[\zeta]$ no tiene factorización única para $p=23$, de modo que el FLT no podría ser resuelto completamente por el método anterior.
La cosa que dejó de factorización única, fue el hecho de que el anillo no era lo suficientemente grande como para factorise todo lo más en las mismas cosas.
Afortunadamente, podemos restaurar la única factorización sin tener que ampliar! A través de la genialidad de Kummer y Dedekind, se dieron cuenta de que, considerando la "múltiplos" de un elemento como un objeto en su propio derecho, podemos reforma de la factorización de una manera que se convierte en única hasta el pedido.
En lenguaje moderno de estos objetos se denominan ideales de un anillo. Hay una noción de un primer ideal, la captura de la noción de número primo. Los diferentes factorisations de $6$ anterior puede ser explicado como la reordenación de los principales ideales de la factorización de los ideales generados por $6$. Estos primos ideales NO son generados por un elemento, por lo que no corresponden a "múltiplos" de algo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$, que corresponden más a "múltiplos" de algo que no existe en el ring, pero podría existir después de hacer una extensión.
Kummer fue capaz de demostrar un gran número de casos de FLT mediante el ideal de la teoría. Esto se describe en muchos libros.
Se centran en la teoría algebraica de números se dirige ahora al estudio de estas construcciones algebraicas. Vemos que en un determinado "agradable" ring, ciertos números primos puede factorise, mientras que otros no.
Por ejemplo, en $\mathbb{Z}[i]$ nos encontramos con que un primer $p$ factorises si y sólo si $p=2$ o $p \equiv 1$ mod $4$. La factorización de $2$ es diferente a los otros en $2 = (1+i)^2$ no es "cuadrado". Todos los demás factorise en dos factores diferentes. Decimos que $2$ ramifies, primos $p\equiv 1$ mod $4$ split y los primos de $p\equiv 3$ mod $4$ son inertes.
Esta congruencia relación que describe la factorización de números primos es, en cierto sentido, realmente explicado por los valores del símbolo de Legendre $\left(\frac{-1}{p}\right)$, que es también explicando las sumas de dos cuadrados! Trabajando en temas similares anillos te da toda la ley de la reciprocidad cuadrática.
El objetivo de la clase de campo de la teoría es explicar la división de números primos en CUALQUIER extensión de "número de campos" para obtener caracterizaciones similares en términos de congruencias. De hecho me acaba de decir una mentira, aun no podemos hacer esto para CUALQUIER extensión, de la clase de teoría del campo lo hace por abelian extensiones (con abelian grupo de Galois), pero nunca-el-menos, es un poco fuerte la teoría de que tiene muchas aplicaciones (por ejemplo resuelve la cuestión de cuál de los números primos puede ser escrito como $x^2 + ny^2$.
En el caso de abelian extensiones de $\mathbb{Q}$ nos encontramos con que no son simples de la congruencia de las condiciones de mod algunos entero $N$ que describe completamente la división de comportamiento de los primos!
Otro lado de campo de la clase de teoría es la Cebotarev densidad teorema, que los estados, en esencia, que la mayoría de la división de los tipos de suceder infinitamente a menudo. Esta es una gran generalización de la del teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas...de hecho, proporciona una cantidad infinita de Dirichlet teoremas, uno para cada abelian extensión.
En estos días el (la mayoría sin resolver) programa de Langlands se supone que llene los vacíos de no abelian extensiones, pero esto es muy difícil de entender y no se entiende todavía completamente. Cuando esto se entiende que resultará ser el santo grial de la teoría de números, va a caracterizar de una manera enorme a la división de números primos.
De todos modos, espero que este apremiados introducción va a abrir el apetito. El libro primero comencé con fue Stewart/Alto - teoría Algebraica de números y el último teorema de fermat. Este es un buen libro para empezar. También Lang - teoría Algebraica de números, la Cox - los números Primos de la forma $x^2 + ny^2$ y Childress - Clase de teoría de campo son buenos para empezar de campo de la clase de teoría.
