Cómo probar esta desigualdad: $\dfrac{n(\ln(n)-2\ln(2))}{2\ln(n)(\ln(n)-\ln(2))^2} > 1$ todos los $n\ge20$
Traté de aplicar este enfoque , pero tengo un gran primer diferenciar $u'(x)$ cuyo signo no es fácil de determinar
Respuesta
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Idea: El objetivo es mostrar que la $f(x)$ es cada vez mayor. Podríamos tomar la derivada, pero en este caso que va a ser tedioso. En lugar de utilizar los logaritmos. Tenemos que $f(x)$ es positivo y creciente si y sólo si $\log f(x)$ es creciente, por lo que todo lo que tenemos que hacer es mirar la derivada logarítmica y el valor en $n=20$.
Demostrar la Desigualdad: la Reescritura de su fracción anterior, vamos a $$g(n)=\frac{n\log\left(\frac{n}{4}\right)}{\log\left(n\right)\left(\log\left(\frac{n}{2}\right)\right)^{2}}.$$ then $$\log\left(g(n)\right)=\log n+\log\log\left(\frac{n}{4}\right)-\log2-\log\log n-2\log\log\left(\frac{n}{2}\right).$$ Taking the derivative we see that $$\frac{g^{'}(x)}{g(x)}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x\log\left(\frac{x}{4}\right)}+\frac{-1}{x\log x}+\frac{-2}{x\log\left(\frac{x}{2}\right)}.$$ Now, notice that $\frac{1}{\log\left(\frac{x}{4}\right)}+\frac{-1}{\log x}>0$. Next, for $x\geq20$, $\log\left(\frac{x}{2}\right)\geq\log\left(10\right)>\log(e^{2})=2$ so that $1+\frac{-2}{\log\left(\frac{x}{2}\right)}>0.$ This implies that for $x\geq20$ $$\frac{g^{'}(x)}{g(x)}>0.$$ As $g(20)>1 de dólares , la desigualdad de la siguiente manera.
