Estábamos tratando de encontrar una manera fácil de generar un número racional entre dos números racionales con un bastante bajo el numerador y el denominador (la forma en que estamos haciendo esto antes, fue a buscar el promedio de los dos racionales, pero que los resultados en un denominador de a $c * d$. ¿Esta desigualdad se mantenga para todos los valores de $a, b, c, d$?
Respuestas
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Sí, la desigualdad se mantiene. Un enfoque estándar para probar que $x\lt y\,$ es para mostrar que $y-x\gt 0$.
Aplicar esto a $x=\dfrac{a}{b}$$y=\dfrac{a+c}{b+d}$.
La diferencia es $\dfrac{a+c}{b+d}-\dfrac{a}{b}$, que se simplifica a $\dfrac{bc-ad}{(b+d)b}$. Pero $bc\gt ad$ sigue desde nuestro punto inicial de la desigualdad.
El mismo método funciona para mostrar que $\dfrac{a+c}{b+d}\lt \dfrac{c}{d}$.
David HAust
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Sugerencia $\ $ El medio plazo, conocido como el desarrollo, es la pendiente de la diagonal del paralelogramo con lados que son los vectores $(b,a),\ (d,c).\:$ Claramente la pendiente de la diagonal se encuentra entre las pendientes de los lados.
Lyra
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Este es el llamado desarrollo. La desigualdad de hecho se mantenga para todas las $a,\ b,\ c,\ d$.
Stephan Aßmus
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El entorno donde esta se produce como una cuestión de curso es simple fracciones continuas, en este caso, alguna cantidad positiva. Si el "cociente parcial" es $k$ que no es necesariamente igual a $1,$ los dos casos relacionados de la siguiente "convergente" son $$\frac{a}{b} < \frac{a+kc}{b+kd} < \frac{c}{d},$ $ , que es lo que pasa si los dos convergents de pasar a estar en orden creciente, de lo contrario $$ \frac{c}{d} > \frac{c + ka}{d + kb} > \frac{a}{b}$ $ , donde la desigualdad de los signos deben ser masajeado como los dos convergents de pasar a estar en orden decreciente. De todos modos, ambos muestran las desigualdades son verdaderas.
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