La única superficie con al menos tres líneas distintas que pasan por cada uno de sus puntos es el plano

Question

El artículo de Wikipedia sobre superficies regladas incluye esta observación:

El plano es la única superficie que contiene al menos tres líneas distintas que pasan por cada uno de sus puntos.

Me gustaría ver una referencia o prueba de este hecho.

Asumo que las "superficies" que consideramos en esta proposición son submanifoldes suaves bidimensionales de $\Bbb R^3$ .

Esto también puede responder a esta pregunta .

Answer 1

La afirmación se refiere a las superficies lisas en $\mathbb R^3$ es decir, submanifolds bidimensionales, y el resultado es que el submanifold es un plano afín. Para demostrarlo, dejemos que $M$ sea la superficie y tomemos un punto $x\in M$ . Entonces la segunda forma fundamental en $x$ es una forma bilineal simétrica $II$ en el espacio tangente $T_xM$ que es un subespacio bidimensional de $\mathbb R^3$ . Para un vector unitario $v\in T_xM$ es bien sabido que $II(v,v)$ es la llamada curvatura normal. Esta viene dada por tomar el plano en $T_xM$ abarcados por $v$ y la unidad normal en $x$ y la intersección con $M$ y tomando la curvatura de la curva resultante en ese plano. En particular, si existe una línea afín $\ell=\{x+tv:t\in\mathbb R\}$ que está contenido (localmente) en $M$ . Entonces $\ell$ coincide con la intersección del plano normal con $M$ Así que $II(v,v)=0$ . Si hay tres líneas que pasan por $x$ contenida en $M$ entonces $II$ desaparece en tres subespacios unidimensionales del espacio bidimensional $T_xM$ . El álgebra lineal implica entonces que $II$ tiene que desaparecer en $x$ . (Las formas definidas no desaparecen en ningún subespacio unidimensional, las indefinidas no degeneradas en dos y las no nulas degeneradas en uno de esos subespacios). Si esto es cierto para todos los $x\in M$ entonces $II$ desaparece idénticamente y es bien sabido que esto implica que $M$ es una parte de un plano.