Función que es la suma de todos sus derivados

Question

Acabo de empezar a aprender acerca de las ecuaciones diferenciales, como resultado, comencé a pensar sobre esta pregunta, pero no podía llegar a ninguna parte. Así que busqué en google y no fue capaz de encontrar cualquier particularmente útiles resultados. Estoy más interesado en la razón o el método en lugar de la respuesta. También no sé si hay incluso una solución para esto, pero si no estoy tan interesado en saber por qué no.

Hay una solución a la ecuación diferencial:

$$f(x)=\sum_{n=1}^\infty f^{(n)}(x)$$

Answer 1

$f(x)=\exp(\frac{1}{2}x)$ es una función de este tipo, ya que $f^{(n)}=2^{-n} f(x)$, usted tiene

$$\sum_{n=1}^\infty f^{(n)}(x)=\sum_{n=1}^\infty 2^{-n}f(x)=(2-1)f(x)=f(x)$$

Esta es la única función (hasta un constante prefactor) para que $\sum_{n}f^{(n)}$ y sus derivados convergen uniformemente (compacta), $$f'=\sum_{n=1}^\infty f^{(n+1)}=f-f'$$ de la siguiente manera a partir de esta suposición. Pero esto es lo mismo que $f-2 f'=0$, de los cuales el único (real) las soluciones son de $f(x)= C \exp{\frac{x}{2}}$ $C \in \mathbb R$.

Answer 2

Distinguir ambos lados para obtener $f'(x) = f'' (x)+f^{(3)}(x) +... $

Para la partida Ecuación $f (x) = f'(x) + f'(x) \Rightarrow f(x)=2f'(x)$

Ahora ambos lados se multiplican por $e ^ {-\frac {x} {2}} $ y esto se convierte en
$$[e^{-\frac{x}{2}}f(x)]'= 0$
Así que $f (x) = ce ^ {\frac {x} {2}} $
Hecho.