Supongamos que tenemos un anillo de homomorphism $f\colon R\to\mathbb{Z}$.
El compuesto de la homomorphism $f$, tras el homomorphism $j\colon \mathbb{Z}\to R : n\mapsto n\cdot 1_R$ es
la identidad homomorphism $f\circ j=\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ (esto debido a que $\mathrm{id}_{\mathbb{Z}}$ es la única endomorfismo de el anillo de $\mathbb{Z}$), lo que implica que $j$ es inyectiva, y por lo tanto la característica de $R$ es cero. Tenga en cuenta que $\mathrm{char}(R)=0$
si y sólo si el elemento $1_R$ de la $\mathbb{Z}$-módulo de $R$ es de torsiones,
si y sólo si el conjunto de $\{1_R\}$ es linealmente independiente sobre $\mathbb{Z}$.
Esto fue sólo una alternativa prueba de lo que ya lo han probado.
Deje $N$ ser el núcleo de $f$. A continuación, el subyacente aditivo grupo de el anillo de $R$ el (interior) de la suma directa de los aditivos de los grupos de la sub-anillo $\mathbb{Z}1_R$ y del ideal de la $N$, lo que escribimos $R=\mathbb{Z}1_R\oplus N$. De hecho, si $x$ es cualquier elemento del anillo de $R$, $f(x-f(x)1_R)=0$ y, por tanto,$x-f(x)1_R\in N$, lo que demuestra que $R=\mathbb{Z}1_R+N$. Si $x=n\cdot 1_R\in N$ (donde$n\in\mathbb{Z}$), $n=f(x)=0$ y, por tanto,$x=0$, lo que demuestra que $\mathbb{Z}\cap N=0$, por lo que la suma de $\mathbb{Z}1_R+N$ es directo.
El ideal de $N$, equipado con la adición y la multiplicación heredado de $R$, es un generador de números aleatorios. $\,$("Rng" no es un error tipográfico: un generador de números aleatorios es un grupo abelian equipado con un asociativa biadditive la multiplicación. Nada se dice de una identidad multiplicativa; incluso si está presente, se omite en el sentido de que homomorphisms de generadores de números aleatorios no son necesarias para preservar la multiplicación de las identidades, ya que una multiplicativo de la identidad no es un reconocido oficialmente constituyente de un generador de números aleatorios de la estructura.)$\,$ La inclusión del mapa de $N\hookrightarrow R$ es un homomorphism o generadores de números aleatorios,
donde el anillo de $R$ es considerado como un generador de números aleatorios (nosotros 'olvidar' $1_R$).
El "anillo considerado como un generador de números aleatorios" es en realidad un olvidadizo functor $U$ a partir de la categoría de $\mathbf{Ring}$ (unital) anillos a la categoría de $\mathbf{Rng}$ de los generadores de números aleatorios. La izquierda adjoint $F\colon\mathbf{Rng}\to\mathbf{Ring}$ construye para cada una de las rng $A$ un anillo de $F\mspace{-2mu}A$ y un homomorphism de generadores de números aleatorios $\eta=\eta_A\colon A\to UF\mspace{-2mu}A$, de modo que lo siguiente es cierto: dado cualquier
anillo de $R$ y un homomorphism de generadores de números aleatorios $h\colon A\to UR$ existe un único homomorphism de los anillos de $h'\colon F\mspace{-2mu}A\to R$ tal que $h=Uh'\circ\eta$. $\,$(Aquí el homomorphism de generadores de números aleatorios $Uh'\colon UF\mspace{-2mu}A\to UR$ es precisamente el mismo mapa de la homomorphism o anillos de $h'$;
a pesar de que la asignación de $h'$ envía la identidad multiplicativa del anillo de $F\mspace{-2mu}A$ a la identidad multiplicativa del anillo de $R$, podemos ignorar este hecho cuando consideramos a $h'$ como un homomorphism de generadores de números aleatorios y escribir $Uh'$.)$\,$ Estoy seguro de que usted sabe la construcción de $F\mspace{-2mu}A$. Nos pusimos $F\mspace{-2mu}A=\mathbb{Z}\oplus\mspace{-2mu}A$, escribir los elementos de la suma directa de $\mathbb{Z}\oplus\mspace{-2mu}A$ como formal sumas $n+a$ ($n\in\mathbb{Z}$, $a\in A$), la que añadimos las componentes y multiplicar de la siguiente manera: $(n+a)(m+b):=(nm)+(nb+ma+ab)$. El homomorphism $\eta\colon A\to F\mspace{-2mu}A$ de los rngs asigna un elemento $a$ $A$ de la suma de $0+a$$F\mspace{-2mu}A$. El homomorphism $\eta$ incrusta el rng $A$ en el ring $F\mspace{-2mu}A$ como el subrng $\eta A=0\oplus\mspace{-2mu} A$. $\,$Y ahora viene el remate de este chiste:
la asignación de $\varphi\colon F\mspace{-2mu}A\to\mathbb{Z} : n+a\mapsto n$ es un homomorphism de los anillos, y $\ker\varphi=0\oplus\mspace{-2mu} A=\eta A$.
En la situación con la que se inició, el anillo de $FN$ es naturalmente isomorfo al anillo de $R$: el isomorfismo natural $FN\to R$ mapas formal suma $n+z\in FN$ ($n\in\mathbb{Z}$, $z\in N$) para el elemento $n\cdot 1_R+z$ de el anillo de $R$.
Por lo tanto, la propiedad especial de un anillo de $R$, además de a $\mathrm{char}(R)=0$, lo que en realidad caracteriza a la existencia de un anillo homomorphism $R\to\mathbb{Z}$, es la existencia de una división de la $R=\mathbb{Z}1_R\oplus N$ donde $N$ es
una de dos caras ideal de $R$ y la suma directa es el de la subyacente aditivo grupos.
Para cada rng $A$ existe un anillo homomorphism $R\to\mathbb{Z}$ cuyo núcleo es rng-isomorfo a $A$.
En cierto sentido, un anillo de homomorphism $f\colon R\to\mathbb{Z}$ es sólo un 'anillos' presentación de la rng $N=\ker F$. Otra forma de describir esta correspondencia es decir que la noción de un anillo homomorphism $R\to\mathbb{Z}$ es cryptomorphic a la noción de un generador de números aleatorios; las dos nociones son sólo dos equivalentes presentaciones/realizaciones/implementaciones encarnaciones de un mismo concepto.
Deje $\mathfrak{R}$ ser la categoría o el anillo de homomorphisms $R\to\mathbb{Z}$, en un homomorphism de $f\colon R\to\mathbb{Z}$
a $g\colon S\to\mathbb{Z}$ es un homomorphism de los anillos de $h\colon R\to S$ tal que $f=g\circ h$. $\,($Esta categoría $\mathfrak{R}$ es
la coma categoría $(\mathbf{Rings}\downarrow\mathbb{Z})$.$)\,$ La categoría de $\mathfrak{R}$ es equivalente a la categoría de generadores de números aleatorios $\mathbf{Rng}\,$;
determinar por su propia cuenta el par de functors que constituyen la equivalencia de estas dos categorías-que tiene casi todos los ingredientes ya en la mano. Esta equivalencia de categorías puede ser considerado como el 'cryptomorphism' entre la noción de un anillo homomorphism $R\to\mathbb{Z}$, y la noción de un generador de números aleatorios.
