Inferencia con la Variable aleatoria gaussiana

Question

Que $X = N(0,\frac{1}{\alpha})$, $Y = 2X + 8 + N_{y}$, y un ruido $N_{y}$ $N_{y} = N(0,1)$. Entonces, $P(y|x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp\{ -\frac{1}{2}(y - 2x - 8)^{2} \}$ y $P(x) = \sqrt{\frac{\alpha}{2\pi}}exp\{-\frac{\alpha x^{2}}{2}\} $.

El vector de medias es:

$$ \mathbf{\mu} = \left (\begin{array}{c} \mu_{x}\\ \mu_{y}\end{matriz} \right)= \left (\begin{array}{c} 0\\ 8\end{matriz} \right).$$

La pregunta es cómo calcular la varianza de Y.

Sé que la respuesta correcta es

$$\frac{4}{\alpha} + 1, $$

pero no sé cómo llegar desde %#% $ #%

Para

$$var(Y) = E[(Y-\mu_{y})^{2}] = E[(2X+N_{y})^{2}] $$

¿Puede alguien ayudar? ACTUALIZACIÓN: Muchas gracias por respuestas

Answer 1

La ley de expectativas iteradas puede ayudar aquí. Tenemos:

$$Var[Y]=E(Var[Y|X])+Var[E(Y|X)]$$

Ahora condicionada a $X$ $Y$ el valor esperado es $2X+8$, y su varianza es $1$. Así que tenemos:

$$Var[Y]=E(1)+Var[2X+8]=1+4 Var[X]=1+\frac{4}{\alpha}$$

Answer 2

Solución a esta tarea es simple aplicación del álgebra sencilla e independencia de$X$ y$N_y$:$\mathbb{E} (2 X + N_y)^2 = 4 \mathbb{E} X^2 + 4 \mathbb{E} X \mathbb{E} N_y + \mathbb{E} N_y^2 = 4 Var X + 0 + Var N_y = \frac{4}{\alpha} + 1$.