$S_6$ contiene dos subgrupos que son isomorfos a $S_5$ pero no están conjugadas entre sí

Question

Este es un problema de Tel. D. de Calificación de los Exámenes.

Muestran que el grupo simétrico $S_6$ contiene dos subgrupos que son isomorfos a $S_5$ pero no conjugado a cada uno de los otros.

Este es mi método. $S_5$ contiene 6 Sylow 5-subgrupo, y $S_5$ ley por la conjugación de los 6 grupos transitivamente por Sylow 2 del Teorema, por lo tanto induce un homomorphism $\phi: S_5 \to S_6$. Ahora, si $ker\phi$ es trvial, a continuación, $Im\phi$ es un subgrupo de $S_6$ isomorfo a $S_5$. Desde $Im\phi$ es transitivo subgrupo de, no es la conjugada para el subgrupo que permutes 5 cartas de fijación 1 de la carta, es decir, el subgrupo $Sym\{1,2,3,4,5\}\cong S_5$.

Así que lo que tenemos que hacer es mostrar a $ker\phi$ es trvial. Tomado uno de 6 de Sylow de 5 subgrupos $H$, hay 6 conjugación de las órbitas, por lo $N_G(H)$, el normalizador de la $H$ orden $20=\frac{120}{6}$ contando fórmula. Aquí me detuve. Sé que si me puede mostrar la intersección de las 6 normalizadores contiene sólo elemento de identidad, se va a hacer, pero ¿cómo puedo proceder?

Answer 1

$S_6$ tiene dos clases de GACION de subgrupos isomorfos a $S_5$. Primero de todos el "trivial": estabilizadores de un punto. Le da 6 subgrupos. La segunda es la clase de GACION de $\langle(1234),(3456)\rangle$. Otra vez $6$ subgrupos. Los subgrupos de estas dos clases no son conjugados en $S_6$, porque los miembros de la primera fijan transitoriamente un punto, mientras que los miembros de la segunda ley.

Answer 2

Conforme a lo solicitado, aquí está un resumen de las cuestiones planteadas en los comentarios.

El argumento según lo publicado en la pregunta es casi completa.

Como es cierto para cualquier homomorphism, $Ker(\phi)$ es un subgrupo normal. Por supuesto, $S_5$ realmente no tiene subgrupos normales. No es $S_5$ sí, el trivial grupo, y $A_5$. Ahora, como fue resuelto en la pregunta en sí misma, el hecho de que todas las $5$-subgrupos de Sylow son conjugado implica que $Im(\phi)$ no es trivial, tiene que tener al menos $6$ elementos! De ello se desprende que $Ker(\phi)≤20$. Que las normas tanto en el grupo $S_5$ y en la alternancia de grupo $A_5$, lo $Ker(\phi)$ debe ser trivial. Como fue señalado (correctamente) en la pregunta, esto es todo lo que se necesitaba para completar el argumento.