rubik continua ' círculo de cubo s dibujo

Question

Imaginar que tenemos algo así como el cubo de rubik en $U=I^{3}=[0,1]^{3}$, y que podemos decir que todos los puntos en los xy, yz y zx caras son de color negro, y que todos los puntos en los otros tres caras son de color blanco.

Definir un movimiento legal para ser una rotación por un múltiplo de $\frac{\pi}{4}$ alrededor de una de las líneas que van a través del centro de cada par de caras opuestas, para cualquier plaza subconjunto de $U$ ortogonal a la línea respectiva. Tenga en cuenta que hay un incontable número de ellos en cada uno de los ejes. Puntos de conservar su color después de movimientos legales.

Hay una secuencia de movimientos legales que producirán un círculo-algunos puntos de un color y algunos puntos de otro color? -- en una de las caras de $U'$? (donde $U'$ es destinado para denotar $U$ después de la secuencia de movimientos que ha realizado?)

además: tengo la fuerte sospecha de que no hay un solo countably conjunto infinito de movimientos legales obras, sobre la base de la cardinalidad de los argumentos -- un círculo tendría un continuo de puntos, y cualquier countably secuencia infinita de movimientos legales que sólo sería capaz de mover un countably conjunto infinito de puntos.

Answer 1

Lo que es una gran pregunta!

Aquí está mi solución. Busco un negro círculo inscrito en un cara blanca (donde la línea límite de puntos son invisibles, como se ha mencionado en los comentarios).

Elija uno de los rostros blancos a ser el final deseado de la cara F. Ahora, considere la posibilidad de cualquier fila horizontal en que la cara, que es todo blanco. Queremos añadir dos puntos negros a una fila (a excepción de la parte superior/inferior/centro, que se manejan ya por el borde de color del punto de condición). Estas filas vienen en la parte superior/inferior simétrica de doble los pares. Llame a un par de la de trabajo actual del par de filas. Hacemos un cuarto de vuelta a cada uno de estos filas de al lado. Ahora, que operan en que cara de S, podemos hacer dos movimientos paralelos a la F, que no molesta F, con el fin de hacer que el trabajo de las filas en S tiene exactamente dos puntos negros, cada uno en la posición correcta. Esto es posible ya que las plazas que contiene el trabajo las filas no se han movido previamente, y el correspondiente las columnas que contienen el deseado de puntos negros, que no han ha movido previamente, ya que los puntos sólo se moverá para este par de trabajo filas. Que es, precisamente, es la punto negro frente al blanco dual punto que deseamos, y trabajando en dual pares, ponemos todos los cuatro puntos negros en posición con dos movimientos. (Está claro?) Por lo tanto, en el lado cara, tenemos las dos filas buscando exactamente igual que nosotros quiere. Así que nos dirigimos a cada uno de ellos un cuarto de vuelta de nuevo a la principal cara F, y continuar con otro par de trabajar filas. El la fila central y la parte superior/inferior filas no necesita ajuste, porque de lo invisible borde de puntos. Por eso parece que hacer !

Dicho esto, hay cuestiones problemáticas en la configuración de su problema. Este tipo de problema, donde uno quiere describir una tarea que implica una infinidad de pasos, que se conoce como un supertask, y es abierto a una serie de interesantes paradojas y problemática problema, algunos de los cuales describo en este MathOverflow respuesta.

En este problema, podemos imaginar la realización de mi solución en un transfinito secuencia de movimientos. El hecho de que cada fila en la cara es se maneja con un número finito de movimientos hace que a mi en particular la solución menos problemática que la de otras situaciones en que se puede imaginar. En general, por ejemplo, si un cuadrado ha sido mueve infinitamente muchas veces, en qué posición está en el límite? Usted no ha dicho, y no está claro a qué se debe ser. Pero las soluciones en la que cada cuadrado se mueve solo finitely parecen a menudo para evitar este problema, en particular cuando el orden en que las secuencias finitas de movimientos que se realizan en no importa.

Edit. Me doy cuenta ahora de que usted no dijo que el diámetro del círculo debe ser el mismo que el diámetro de la plaza. Usted puede modificar fácilmente mi solución para cualquier tamaño de círculo en cualquier cara. En este caso, usted tiene que manejar la parte superior/inferior/medio filas del círculo, pero esto no es problema y es el mismo tratamiento que el resto de las filas. La parte superior/inferior filas de la forma de círculo un par doble de trabajo filas como con los otros, y el centro de la fila no tiene dual, y se maneja por sí mismo.