A veces en análisis real, escribir una igualdad y especifique que es verdadero en el sentido de la norma de $L^2$. ¿Mi pregunta es, cuando en matemáticas escribir '=' y no se especifica nada, lo que queremos realmente decir? ¿Entendemos convergencia uniforme, más o menos que?
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HappyEngineer
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La relación de $f\sim g$ define como $\|f-g\|=0$ se llama una relación de equivalencia.
En general, si $X$ es un conjunto, una relación de equivalencia en $X$ es un subconjunto de a $R\subseteq X\times X$ que tiene las propiedades:
- Reflexividad: $\forall x\in X:(x,x)\in R$
- Simetría: $\forall x,y\in X: (x,y)\in R\implies (y,x)\in R$
- Transitividad: $\forall x,y,z\in X: (x,y)\in R \text{ and }(y,z)\in R\implies (x,y)\in R$
Si escribimos $(x,y)\in R$$x\sim_R y$, esto significa
- $x\sim_R x$
- $x\sim_R y \implies y\sim_R x$
- $x\sim_R y \text{ and }y\sim_R z\implies x\sim_R z$
Ahora, dada una relación de equivalencia en $X$, se puede particionar $X$ en algo que se llama clases de equivalencia, y se puede construir un conjunto $X/\sim_R$ y un mapa de la $\pi: X\to X/\sim_R$ tal que $\pi(x)=\pi(y)$ si y sólo si $x\sim_R y$. A veces nos escribe $\pi(x)=\left<x\right>_{\sim_R}$ o sólo $\left<x\right>$ si la relación de equivalencia es conocido.
Así que, en su caso, empezamos con $L^2$, y definir una relación de equivalencia $\sim$ como en el anterior, y luego construir $L^2/\sim$.
Es común el abuso de notación, y en lugar de escribir para $x,y\in L^2$ que cualquiera de las $x\sim y$ o que $\left<x\right>=\left<y\right>$, acabamos de escribir $x=y$. Este es perezoso notación, pero en casos como el de $L^2/\sim$, no es una gran cosa.
A menudo se desea que la relación de equivalencia a ser agradable. Por ejemplo, en este caso de $L^2$ $\sim$ si $f_1\sim g_1$$f_2\sim g_2$$\|f_1-f_2\|=\|g_1-g_2\|$. Buenas características de la relación de equivalencia significa que no tenemos que tener mucho cuidado que $f$ nos elija entre una clase de equivalencia en nuestras pruebas - si $\left<f\right>=\left<g\right>$ entonces la prueba funciona de la misma el uso de $g$ en lugar de $f$. Sin embargo, tenemos que demostrar que la relación de equivalencia es "agradable" de esta manera.
Para otro ejemplo de la "amabilidad" de $\sim$$L^2$: Si $f_1\sim g_1$$f_2\sim g_2$,$f_1+f_2\sim g_1+g_2$. Por lo que podemos definir $+$$L^2/\sim$.
Creo que puedo ver de dónde viene la confusión. Vamos a aclarar: en general, la igualdad de signo $=$ casi siempre significa lo mismo (dos elementos son los mismos en un espacio determinado). Es la cuestión de la convergencia que cambia. Este es el mejor visto por los dos ejemplos:
Ejemplo 1: Supongamos que yo digo que $\lim_{x \to 2} f(x) = 7$. Ahora, se podría decir que esta ecuación significa que:
Para todos los $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|x - 2| < \delta$ implica $|f(x) - 7| < \epsilon$.
Así, uno podría erróneamente pensar, "Wow, eso $=$ se esconde una gran cantidad de información. Ese es un tipo completamente diferente de la igualdad". Pero no es la $=$ señal de que está haciendo! Es el límite de sí mismo. En otras palabras, se podría haber escrito de esta manera:
$\lim_{x \to 2} f(x)$ es el número tal que
Para todos los $\epsilon > 0$ existe $\delta > 0$ tal que $|x - 2| < \delta$ implica $|f(x) - \lim_{x\to 2} f(x)| < \epsilon$,
y este número, $\lim_{x \to 2} f(x)$, es decir, es igual) 7.
Ejemplo 2: En una manera similar, supongamos $f_n$ $L^2$ funciones, y he de decir que $\sum_1^\infty f_k = g$$L^2$. De nuevo, este es el mejor enunciado como este:
$\sum_1^\infty f_k$ es la función tal que
Para todos los $\epsilon > 0$ existe $N$ tal que $n \geq N$ implica $\Vert \sum_1^n f_k - \sum_1^\infty f_k \Vert_2 < \epsilon$,
y también se $g$ es la misma que la función $\sum_1^\infty f_k$ (casi en todas partes).
Resumen: El signo igual $=$ es la misma cosa que siempre ha conocido y amado (a excepción de que se toma en relación a un espacio determinado). Lo que tienes que entender es lo que expresiones como $\lim f(x)$ $\sum f_n$ significa realmente.
Mike Cole
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173
Cuando los matemáticos escribir la igualdad de signo $=$, que oficialmente sólo significa la igualdad, es decir, $x = y$ $x$ $y$ son la misma cosa.
Algunas veces es conveniente permitir a $=$ a tener un significado ligeramente diferente, pero con más frecuencia esto se reduce adecuadamente la comprensión de lo que es en ambos lados de la igualdad. Por ejemplo, si desea escribir $f = g$ para la igualdad en $L^2$, lo que significa realmente es que usted trate a $f$ $g$ como elementos de $L^2$, y se comparan estos. Por lo tanto, el problema se reduce a la pregunta: ¿cuáles son los objetos que están hablando? (que no es algo trivial, ya que la "misma" función puede pertenecer a una gran cantidad de diversos espacios de funciones, por ejemplo). Tenga en cuenta que un purista probablemente especificar mediante la adición después de $f = g$ algo así como "en $L^2$" o "casi en todas partes".
Si usted tiene un límite o una serie (que es un límite en el disfraz) en cualquiera de los lados, la verdadera pregunta es: ¿cómo está usted tomando el límite? Para hacer sentido de una declaración como "$f = \sum_n a_n x^n$" o alguna otra serie, usted necesita para descubrir en qué espacio está tomando la suma. Una vez que sabes esto, que la igualdad es la igualdad en ese espacio.
lowglider
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Edificio en Jesse Madnick excelente respuesta, una manera de interpretar
"$f = g$ en el sentido de la $L^2$ norma"
es que lo que realmente significa es
"$\langle f \rangle = \langle g \rangle$donde $\langle f \rangle$ $\langle g \rangle$ indican que $L^2$ clases de equivalencia de a $f$ $g$ respectivamente"
pero somos perezosos en nuestra notación y utilizar sólo la llanura de los símbolos de la función $f$ $g$ a defender sus clases de equivalencia, con el fin de evitar una excesiva profusión de soportes.
O, alternativamente, podríamos interpretar $f$ $g$ como ser el de las clases de equivalencia, y decir que estamos siendo perezoso por el uso de ellos en otros lugares como funciones sin explícitamente de escoger a un representante de la función de cada clase.
De cualquier manera, este hábito de usar el mismo símbolo para indicar tanto una equivalencia de clase y un miembro representante de es común en muchas áreas de las matemáticas, ya que hace que la notación mucho menos densa. Lo hace, sin embargo, significa que a veces tenemos que aclarar explícitamente en qué sentido estamos utilizando un símbolo particular.
