definición de ordenada espacio vectorial

Question

Una ordenó espacio vectorial es el par $(V , \leq)$ cuando se satisfaga la siguiente:

Para todos los $x,y,z \in V, \lambda \geq 0$,

i) $x \leq y \Rightarrow x+z \leq y+z$

ii) $x \leq y \Rightarrow \lambda x \leq \lambda y$

Pregunta: basado Únicamente en la definición, podemos deducir que $x \leq y \Rightarrow \mu x \geq \mu y$ cualquier $\mu \leq 0, \mu \in \mathbb{R}$? En otras palabras, es cierto que para cualquier vector ordenado el espacio, la desigualdad se volcó si multiplicamos ambos lados por un número negativo?

Answer 1

Sí, es cierto que:

Deje $x \le y$$\mu \in \mathbb R_-$.

Ahora $$(-\mu) \cdot x \le (- \mu) \cdot y $$ los rendimientos (mediante la adición de $\mu \cdot x$ en ambos lados) $$0 \le (-\mu) \cdot y + \mu \cdot x$$

La adición de $\mu \cdot y$ en ambos lados da

$$ \mu \cdot y \le \mu \cdot x $$ como se desee.

Btw. Tenga en cuenta que dado un lineal ordenó $K$-espacio vectorial $(V, \le)$, se puede definir un orden lineal $(K, \preceq)$ que hace $K$ en un orden de campo de la siguiente manera. Fix $v_0 \in V \setminus \{ \underline 0 \}$. A continuación, para $a,b \in K$

$$ un \preceq b :\Leftrightarrow \cdot v_0 \le b \cdot v_0 $$