¿Es cada álgebra de mentira dimensional finita de la álgebra de mentira de un grupo algebraico?

Question

Harold Williams, Pablo Solís, y yo estábamos conversando y con la siguiente pregunta.

En la Mentira de grupo de la tierra (donde estás haciendo la geometría diferencial), dado un número finito de dimensiones Mentira álgebra g, usted puede encontrar una representación fiel g → End(V) Ado del teorema. Entonces usted puede tomar el grupo generado por la exponenciación de la imagen para obtener una Mentira grupo G⊆GL(V), cuya Mentira álgebra es g. Creo que esto es correcto, pero por favor dime si hay un error.

Este argumento se basa en el mapa exponencial, que no tenemos la configuración algebraica. ¿Hay algún otro argumento para demostrar que cualquier finito-dimensional Mentira álgebra g es la Mentira de álgebra de algunos algebraica de grupo (cerrado subgrupo de GL(V) corte por polinomios)?

Answer 1

Si una mentira bajoálgebra de gl(V) es la álgebra de mentira de un grupo algebraico, que contiene los factores semisimple y nilpotentes de cualquier elemento. Es una álgebra de mentira de cinco dimensiones para que esto falla, que se puede encontrar en Bourbaki (o p153 de mi www.jmilne.org/math/CourseNotes/ala.html notas)

Answer 2

Mi sospecha es que sí, al menos sobre C y la cosa a hacer es el cierre de Zariski en GL(V) de los exponentes de los elementos de la álgebra de mentira. Por supuesto, sobre los campos al azar, uno no tiene este truco.

¿Podría funcionar un truco como en el subgrupo de GL(V) fijación todos polinomios invariantes para la álgebra de mentira?

Answer 3

Una Mentira subalgebra de gl(n,k), que es el álgebra de la Mentira de una expresión algebraica subgrupo de GL(n,k) se llama una expresión algebraica subalgebra. Al parecer hay Mentira subalgebras que no son algebraicas, incluso en característica cero. Si g es el álgebra de la Mentira de un afín algebraica de grupo, entonces debe ser ad-algebraico, es decir,. su imagen en el Final(g) bajo el medico adjunto de la representación debe ser una expresión algebraica subalgebra. Un ejemplo de no-ad-algebraicas Mentira álgebra es dado en la pg. 385 de Álgebras de Lie y Algebraica de los Grupos, por Tauvel y Yu.

Answer 4

Sea ${\mathbb R} $ actuar en ${\mathbb R} ^ 2$ por rotación a velocidad de la unidad y en un segundo ${\mathbb R} ^ 2$ girando a cierta velocidad irracional. Sea el producto semidirecto (soluble) ${\mathbb R} \ltimes {\mathbb R} $ $G ^ 4$. Entonces las órbitas coadjoint de $ $G pueden no ser localmente cerradas. No creo que suceda en el caso de algebraico.

Answer 5

Sobre un campo que no es C --- bueno, al menos en la no-cero característica --- , el problema es más profundo que el de Ben sugiere: la prueba de Ado del teorema que sé que requiere de característica cero. Creo que si el teorema de fuera cierto en la no-cero Marca característica Haiman lo habría dicho --- él parecía sugerir en su clase que no era.

Por cierto, usted realmente no necesita Ado del teorema, que incluye datos acerca de la acción de la nilpotency ideal, sólo para encontrar un fiel acción. Levi's teorema divide cualquier mentira álgebra como semisimple semi-directa que tienen solución, y esto es suficiente para encontrar un fiel finito-dimensional de la representación.

También, incluso con Ado del teorema, hay una advertencia. El cierre de Zariski, y, de hecho, incluso la analítica de cierre, de la imagen de la exponencial puede tener una dimensión superior. E. g. la línea irracional en el toro.