Deje $C$ ser una irreductible afín curva con puntos singulares, y deje $A$ ser su anillo de funciones regulares. Desde $C$ tiene puntos singulares, $A$ no es integralmente cerrado en su campo de fracciones, $K$. Me gustaría calcular $\overline{A}^K$, la integral de cierre de $A$ $K$ a través de la resolución de las singularidades de $C$.
Supongamos por la voladura de las singularidades de $C$ I obtener un no-singular de la curva de $C'$, que pasa a ser afín a sí mismo, y un mapa de la $C'\twoheadrightarrow C$ de las variedades. Esto induce una inyección de $A\hookrightarrow A'$ donde $A'$ es el anillo de funciones regulares de $C'$. Desde $C'$ es no-singular, $A'$ es integralmente cerrado, y sospecho que es isomorfo a $\overline{A}^K$. Para comprobar mi sospecha, sería necesario demostrar que todos los elementos de a $A'$ integral $A$.
Alguien me puede ayudar a ver por qué esto es cierto o no es cierto? Entiendo que una de las implicaciones de mi sospecha es que si un birational clase de equivalencia de curvas tiene un no-singular afín a la curva, entonces es único hasta el isomorfismo, pero esto no parece tan difícil de creer.
