Serie de Taylor para el coseno alrededor de $\pi/3$

Question

Tengo la necesidad de Taylor de la Serie para$ f(x) = \cos(x) $$ a = \pi/3$:

\begin{align*} f(x) &= \cos(x - \pi/3 + \pi/3) \\ &= \cos \left( x - \frac{\pi}{3}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\\ &=\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-\frac{\pi}{3})^{2n}}{(2n)!} - \frac{\sqrt{3}}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-\frac{\pi}{3})^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{align*}

Estoy en lo cierto hasta el momento? No estoy seguro de cómo hacer que esta expresión "más fácil" y para conseguir la convergencia de la relación. =/

Answer 1

es la "simplificación" a veces el gusto, pero a veces también a las necesidades de una situación. creo que usted podría estar buscando algo a lo largo de las siguientes líneas:

$$ \text{set }\; \xi(n) = \frac12(\chi_2(n+1) + \sqrt{3}\chi_2(n+2)) $$

aquí $\chi_2$ es el segundo de Dirichlet carácter de módulo 4, en el que los ciclos a través de los valores de $0,+1,0,-1$

entonces $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \xi(n) \frac{(x-\frac{\pi}{3})^{n}}{n!} $$ esta brillante pieza de la técnica fue introducida por Dirichlet en su (buen) intento de probar que existe un número infinito de números primos en cualquier progresión aritmética $a+bn$ al $(a,b)=1$

nota añadida para el OP: la relación de $\mid a_{n+1} \mid$ $\mid a_n \mid$es menor de: $$ 2 \frac{\mid{x-\frac{\pi}{3}}\mid}{n+1} $$