¿Cuál será el dígito de el resto en: $\left|5555^{2222} + 2222^{5555}\right|\div 7=?$

Question

¿Cuál será el dígito de las unidades del resto en: $$\frac{\left|5555^{2222} + 2222^{5555}\right|} {7}$$

Answer 1

Sugerencia: $5555 \equiv 4 \pmod{7}$, $2222 \equiv 3 \pmod{7}$.

Edit: Calcular el $4^3 \equiv 1, 3^6 \equiv 1 \pmod{7}$. Por lo tanto, esto implica que $4^{3k} \equiv (4^3)^k \equiv 1^k \equiv 1 \pmod{7}, 3^{6j} \equiv (3^6)^j \equiv 1^j \equiv \pmod{7}$.

Ahora, $2222 \equiv 2 \pmod{3}$, e $5555 \equiv 5 \pmod{6}$. Por lo tanto,

$$5555^{2222} + 2222^{5555} \equiv 4^{2222} + 3^{5555} \equiv 4^ 2 + 3^ 5 \pmod{7}.$$

Answer 2

Esta no es una solución. Yo estaba tratando de averiguar los posibles valores de $n$ tal que $${\underbrace{22\cdots22}_{n\text{ digits }}}^{\underbrace{55\cdots55}_{n\text{ digits }}}+{\underbrace{55\cdots55}_{n\text{ digits }}}^{\underbrace{22\cdots22}_{n\text{ digits }}}$$ is divisible by $7$.

Deje $$\underbrace{11\cdots11}_{n\text{ digits }} =\frac{10^n-1}9=M$$

Claramente $M$ es impar.

Ahora, $$(2M)^{5M}+(5M)^{2M}\equiv (2M)^{5M}+(-2M)^{2M}\pmod 7\equiv (2M)^{5M}+(2M)^{2M}=(2M)^{2M}\{(2M)^{3M}+1\}$$ which will be divisible by $7$

si (i) $7\mid \{(2M)^{3M}+1\}\iff 7\mid \{M^{3M}+1\}$ $2^3\equiv1$

$\iff 7\mid \{\left(\frac{10^n-1}9\right)^{3M}+1\}\iff 7\mid \{(10^n-1)^{3M}+1\}$ $9^3=3^6\equiv1\pmod 7$

Por lo tanto, tenemos $(10^n-1)^{3M}\equiv-1\pmod 7\implies (10^n-1)^3\equiv-1$ $3M\equiv3\pmod {\phi(7)}$ $M$ es impar.

Tomando Logaritmo Discreto wrt una raíz primitiva $3\mod 7,$

$3\cdot ind_3(10^n-1)\equiv 3\pmod 6=6c+3$ para algunos entero $c$

Por eso, $$ind_3(10^n-1)=2c+1$$

Por eso, $10^n-1\equiv 3^{2c+1}\pmod 7\equiv 3,6,5\iff 10^n\equiv4,6,7\pmod7$

$10^n\not\equiv7\pmod 7$ $(10,7)=1$

$10^1\equiv3,10^2\equiv3^3\equiv2,10^3\equiv2\cdot10\equiv6,10^4\equiv2^2=4,10^5\equiv2\cdot6\equiv5,10^6\equiv 6^2\equiv1\pmod 7$

Por eso, $n\equiv3,4\pmod 6$

o si (ii)$7\mid (2M)^{2M}\iff 7\mid M^{2M}\implies 7\mid M\implies 10^n\equiv1\pmod 7\iff 6\mid n$

Por lo tanto, si $n\equiv0,3,4\pmod 6,$ $${\underbrace{22\cdots22}_{n\text{ digits }}}^{\underbrace{55\cdots55}_{n\text{ digits }}}+{\underbrace{55\cdots55}_{n\text{ digits }}}^{\underbrace{22\cdots22}_{n\text{ digits }}}$$ is divisible by $7$.

Answer 3

${\rm mod}\ 7\!:\ 4^{2222}\!+(-4)^{5555} \equiv 4^{2222}(1-4^{3333})\equiv 4^{2222}(1-(\color{#c00}{2^6})^{1111})\equiv 0\,$ $\,\color{#c00}{2^6\equiv 1}$

${\rm mod}\ 7\!:\ \ \ a^{k}+\ (-a)^{k+3n} \ \equiv\ \,a^k\, (1\,-\,a^{3n})\ \ \equiv\ \ a^k\, (1\,-\,(\color{#c00}{b^6})^{n})\equiv 0\,$ $\ \color{#c00}{b^6\equiv 1}\,$ si $\,0\not\equiv a\equiv b^2$

Answer 4

en esta pregunta me gustaría utilizar el teorema del resto, ya 5555 y 2222 son enteros positivos, la expresión es positivo, tenemos que encontrar el resto de la expresión (5555^2222+22222^5555) cuando se divide por 7 5555 dividido por 7 hojas resto 4 2222 diided por 7 hojas remiander 3 el resto será de 4^2222+ 3^5555 así, la expresión puede ser escrita como 16^ 1111+ 243^ 1111 es siempre divisible por 7