Así que estaba resolviendo un problema en Rudin (capítulo 3 #16, para ser específicos) y me di cuenta de lo conveniente que sería tener un símbolo que representara una relación de equivalencia indeterminada. Como ejemplo utilizaré el símbolo $\sim$ .
$\mathbf{Example}$ . Supongamos que tenemos una expresión $A$ que queremos relacionar con $B$ . A continuación, establecemos $$ A \sim B $$ y realizar una operación algebraica para obtener $A'$ y $B'$ . Si esta operación implica multiplicar ambos lados por un número negativo, cambiamos $\sim$ a $\sim'$ . Así que supongamos que lo hizo; entonces tenemos $$ A' \sim' B'. $$ Realicemos otra operación algebraica, y supongamos de nuevo que multiplicamos por un número negativo. Entonces $\sim'$ se convierte en $\sim$ (ya que las desigualdades son iguales bajo dos multiplicaciones por negativos), y obtenemos $A''$ y $B''$ y por lo tanto $$ A'' \sim B''. $$ Podemos seguir así hasta que hayamos hecho $n$ operaciones. Para simplificar supongamos que en este punto nuestra relación de equivalencia es $\sim'$ . Entonces $$ A^{(n)} \sim' B^{(n)}. $$ Supongamos además que sabemos realmente que $A^{(n)} < B^{(n)}$ . Entonces podemos concluir $$ A > B. $$ Si en cambio supiéramos que $A^{(n)} = B^{(n)}$ tendríamos $A = B$ y si en cambio supiéramos que $A^{(n)} > B^{(n)}$ tendríamos $A < B$ .
¿Alguien conoce un símbolo como éste, y si es así, hay cosas interesantes que decir sobre la solución de las relaciones de equivalencia?
