Ahora que tengo congruencias simples, $19x\equiv 4 \pmod {141}$ Por ejemplo, estoy tratando de entender las cuadráticas. Mi libro de texto muestra cómo abordar las congruencias mencionadas, pero no las cuadráticas.
$$15x^2 + 19x\equiv 5 \pmod {11}$$
El libro insinúa que sería equivalente a
$$15x^2 + 19x + 6\equiv 0 \pmod{11}$$
No tengo ni idea de cómo lo han conseguido. He mirado las respuestas anteriores, pero necesito una versión simplificada.
$$15x^2+19x\equiv 5 \mod 11$$ equivale a $$15x^2+19x +6 \equiv 0 \mod 11$$ por el hecho de que podemos restar $5$ de ambos lados de la congruencia (y $-5\equiv 6 \mod 11$ ).
A partir de aquí, se factoriza $15x^2+19x+6$ para dar $(3x+2)(5x+3)$ . Esto significa que nuestra congruencia cuadrática original es equivalente a $$(3x+2)(5x+3)\equiv 0 \mod 11.$$ Esto sólo será cierto si $$3x+2 \equiv 0 \mod 11 \quad \text{or} \quad 5x+3 \equiv 0 \mod 11,$$ o de forma equivalente $$3x\equiv 9 \mod 11 \quad \text{or} \quad 5x\equiv 8 \mod 11.$$
Como estás familiarizado con la resolución de congruencias lineales, deberías ser capaz de resolverlas.
Para eso, hay un par de cosas diferentes que puedes hacer. Para ese caso en particular (porque $11$ es algo pequeño), puedes simplemente introducir todos los valores posibles para ver si se satisface la congruencia. En general, la técnica consiste en utilizar reciprocidad cuadrática que se pueden utilizar congruencias cuadráticas más generales.
@Hayden La reciprocidad cuadrática sólo se puede utilizar para demostrar la no existencia de soluciones, no se puede utilizar para encontrar soluciones. Para encontrar cuáles son las soluciones, hay métodos complicados que se explican aquí (y aquí se dice que se puede generalizar para encontrar las soluciones a $x^d\equiv k\pmod {n}$ para cualquier $d\ge 2$ ).
$0\equiv 4x^2\!+\!8x\!-\!5\equiv \overbrace{(2x)^2\!+\!4(2x)\!-\!5}^{\large X^2\ +\,\ 4\,X\,\ -\,\ 5\!\!\! }\equiv\overbrace{(2x\!+\!5)(2x\!-\!1)}^{\large (X\ +\ 5)\ (X\ -\ 1)}\,$ así que $\,\begin{align} &2x\equiv\color{#c00}{-5}\equiv6\\ &2x\equiv\,\color{#c00} 1\,\equiv 12\end{align}\ $ así que $\ x\equiv \ldots$
O bien, completa el cuadrado $\,0\equiv 4x^2\!+\!8x\!-\!5\equiv (2x\!+\!2)^2\!-\!3^2$ así que $\,2x\!+\!2\equiv \pm3\,$ así que $\,2x\equiv\color{#c00}{ -5,1}\dots$
O bien, aplica la fórmula cuadrática. Primero hacemos el coef de plomo $=1$ mediante el escalado de $1/4\equiv 12/4\equiv3\,$ para conseguir $\ 3(4x^2 + 8x - 5)\equiv x^2 + \color{#0a0}2\,x-4\equiv 0.\,$ Tiene discriminante $\, 2^2\!-4(-4)\equiv 20\equiv 9\equiv \color{#a0f}3^2,\,$ por lo tanto las raíces son $\,x\equiv(-\color{#0a0}2\pm\color{#a0f} 3)/2\equiv \{\color{#c00}{-5,1}\}/2\equiv \{6,12\}/2\equiv \{3,6\}$
@user26486 La fórmula cuadrática funciona sobre cualquier anillo conmutativo donde el denominador $\,2a\,$ es invertible (o cancelable), donde $(a = $ coef de plomo), por ejemplo, véase aquí
A continuación se explica cómo resolverlo de forma general. Cada $\equiv$ aquí se refiere a la equivalencia $\!\bmod {p}$ .
Si $a\not\equiv 0$ con $p$ impar prime, entonces $$ax^2+bx+c\equiv 0\Leftrightarrow 4a^2x^2+4abx+4ac\equiv 0\Leftrightarrow (2ax+b)^2\equiv b^2-4ac$$
Así que para que la congruencia tenga soluciones, necesariamente $b^2-4ac\equiv z^2$ para algunos $z\in\mathbb Z_p$ .
$$\Leftrightarrow 2ax+b\equiv \pm z\Leftrightarrow x\equiv \frac{-b\pm z}{2a}$$
Si $a\not\equiv 0$ con $p$ impar prime y $b^2-4ac\equiv z^2$ para algunos $z\in\mathbb Z_p$ entonces $$ax^2+bx+c\equiv 0\Leftrightarrow x\equiv \frac{-b\pm z}{2a}$$
Si $a\equiv 0$ o $p=2$ la congruencia es trivial, y si $\left(\frac{b^2-4ac}{p}\right)=-1$ ( Símbolo de Legendre , lo que significa $b^2-4ac$ no es un cuadrado $\!\bmod p$ ), $a\not\equiv 0,$ $p$ impar prime, no tiene soluciones.
En su caso, $a\not\equiv 0$ con $p$ impar prime ( $p=11, a\equiv 15, b\equiv 19, c\equiv 6$ ) y $b^2-4ac\equiv 1^2$ por lo que podemos utilizar el teorema anterior:
$$15x^2+19x+6\equiv 0\Leftrightarrow x\equiv \frac{-19\pm 1}{2\cdot 15}\equiv\frac{3\pm 1}{-3}\equiv \{-4\cdot 3^{-1}, -2\cdot 3^{-1}\}\equiv \{6,3\}$$
Aquí he utilizado $3(3^{-1})\equiv 1\equiv 12\Leftrightarrow 3^{-1}\equiv 4$ .
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Resta $5$ de ambos lados y observe que $\,-5\equiv 6\pmod{11}.\,$ Si se continúa reduciendo los coeficientes mod $11$ entonces se puede obtener una factorización fácilmente reconocible - ver mi respuesta. Allí, en algunos lugares, reemplazo impar $\,n\,$ por el par congruente $\,n\pm 11\,$ para simplificar la aritmética.