¿Son independientes las selecciones aleatorias de variables aleatorias i.i.d.?

Question

Déjenos tener distribuidos de forma idéntica e independiente variables aleatorias $x_1, x_2, \dots, x_{10}$ . Ahora vamos a elegir los índices $\alpha, \beta$ de manera uniforme e independiente de $1,2,\dots,10$ . Son variables $x_{\alpha}$ y $x_{\beta}$ ¿Independiente?

Mi intuición dice que no son ya que existe la posibilidad de que $\frac{1}{10}$ que son lo mismo. Pero, ¿cómo puedo demostrarlo formalmente? (o demostrar que son independientes en caso de que me equivoque)

Answer 1

Para resumir:

Con la sustitución (la pregunta), $(\alpha,\beta)$ es independiente y $(x_\alpha,x_\beta)$ no lo es. Sin reemplazo, $(\alpha,\beta)$ no es independiente y $(x_\alpha,x_\beta)$ es.

Para mostrar el caso con la sustitución, considere $$P(x_\alpha\in A,x_\beta\in A)=P(x_\alpha\in A,x_\beta\in A,\alpha\ne\beta)+P(x_\alpha\in A,\alpha=\beta),$$ así, $$P(x_\alpha\in A,x_\beta\in A)=\left(1-\frac1{10}\right)p^2+\frac1{10}p,$$ donde $p=P(x_1\in A)$ . Por otro lado, $$P(x_\alpha\in A)P(x_\beta\in A)=p^2.$$ Si $p$ no es $0$ o $1$ estos son diferentes.

Answer 2

La independencia no tiene nada que ver con que las respuestas sean las mismas. Pueden seguir siendo independientes si las respuestas son las mismas. La independencia tiene más que ver con la probabilidad condicional. Dos variables aleatorias son independientes si el conocimiento del resultado de una de ellas no aporta ninguna información sobre la otra (es decir $P(X_\alpha \mid X_\beta=x)=P(X_\alpha)$ . Ahora bien, una forma de que esta situación no sea independiente es si sus números de uniforme $1,2,\ldots,10$ donde se seleccionan sin reemplazo.