¿una matriz de uno en uno es sólo un número (escalar)?

Question

Me preguntaba. Está claro que no podemos multiplicar una matriz (1x1) por una matriz (4x3); sin embargo, podemos multiplicar un escalar por una matriz. Esto sugiere una diferencia.

Por otro lado, hoy he estado, por ejemplo, en una clase de econometría, donde teníamos para un vector (Tx1) $\underline{û}=\left( \begin{array}{c} û_1\\ \vdots\\ û_T\end{array}\right)$ :

$S_{ûû}:= \sum_{i=1}^T û_i^2$ se reducirá al mínimo. Vemos que $S_{ûû}=\underline{û}^T\underline{û}$ .

Bueno, formalmente, ¿no debería ser $(S_{ûû})=\underline{û}^T\underline{û}$ o $S_{ûû}=\det(\underline{û}^T\underline{û})$ ¿para asegurar que nos quedamos en el espacio de las matrices y no pasamos de repente al espacio de los escalares? Así que aquí, el profesor (físico) no sólo trata $\underline{û}^T\underline{û}$ como un escalar, pero también llama a un escalar. ¿Es esto formalmente legítimo o una simplificación errónea (aunque no parece tener ningún impacto, y seguramente hace la vida más fácil)?

Answer 1

Es sólo un escalar en el sentido de que el anillo de $1\times 1$ matrices sobre un campo $K$ es isomorfo a $K$ (por el mapa $[x]\mapsto x$ ), pero, como has observado, cuando consideras la interacción de matrices de diferentes tamaños, tienes que tratarlas de forma diferente.

Answer 2

Cualquier matriz $A$ lleva consigo una tipo $(m,n)$ con $m$ , $n\in{\mathbb N}_{\geq1}$ . De hecho, tal $A$ no es más que un mapa $$A:\quad[m]\times[n]\to K\ ,\qquad (i,k)\mapsto a_{ik}\ .$$ Cuando ${\rm type}(A)={\rm type}(B)$ entonces la suma $A+B$ se define, y si ${\rm type}(A)=(m,n)$ , ${\rm type}(B)=(n,p)$ entonces el producto $AB$ está definido y tiene el tipo $(m,p)$ .

Cuando $m=n=1$ entonces $A=[a]$ para un solo número $a$ en el campo de la tierra $K$ Por ejemplo, $a\in{\mathbb R}$ . Lamentablemente, no existe una notación establecida para extraer este $a$ fuera de la matriz $A$ , al igual que no existe una notación para extraer el elemento $a$ del conjunto de un elemento $\{a\}$ . En cualquier caso, el mapa $[a]\mapsto a$ está bien definida.

En sentido inverso, las cosas son más preocupantes. Con cualquier $c\in K$ podemos formar el $(1,1)$ -matriz $[c]$ de una manera única. Pero tenga en cuenta que el producto $[c] \,A$ sólo se define si $A$ tiene una sola fila (es decir, es de tipo $(1,n)$ ), y el producto $A\, [c]$ sólo se define si $A$ tiene una sola columna (es decir, es de tipo $(m,1)$ ).

En contraste con esto, el múltiplo escalar $c\,A$ se define para todos los $c\in K$ y cualquier matriz $A$ , sea cual sea su tipo. El efecto de la multiplicación por la izquierda $A$ por el escalar $c$ es, que todos los elementos de $A$ se multiplican por $c$ . Si se quiere realizar mediante un producto matricial hay que sustituir el escalar $c$ por una matriz diagonal cuadrada ${\rm diag}(c,c,\ldots, c)$ del tamaño adecuado.

Answer 3

No, una matriz uno a uno no es un escalar.

Supongamos que quieres multiplicar una matriz de uno en uno $[c]$ con una matriz de 3x3 $A$ . Para ello, ten en cuenta que siempre puedes ampliar una matriz para ajustarla a las dimensiones añadiendo filas y columnas de ceros. Así se obtiene $$ \begin{bmatrix} c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} & ca_{13} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $$ Pero multiplicar un escalar $c$ con $A$ es diferente. El escalar actúa como una matriz diagonal cuadrada. Así que se obtiene $$ c \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c & 0 & 0 \\ 0 & c & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ca_{11} & ca_{12} & ca_{13} \\ ca_{21} & ca_{22} & ca_{23} \\ ca_{31} & ca_{32} & ca_{33} \end{bmatrix} $$

De esto se desprende: Una matriz uno a uno $[c]$ siempre actúa como una matriz con un único valor propio $c$ . Un escalar $c$ por otro lado es un atajo para una matriz n-dimensional con $n$ valores propios iguales $c$ .