Ecuación en $\mathbb F_2$

Question

Dada la ecuación de más de $\mathbb F_2$: $$x_1x_2x_3+x_4x_5x_6=0$$

Ha $50$ soluciones. Deje $N$ conjunto de soluciones. Si le damos algunos lineal de las dependencias a las variables que vamos a conseguir cosets (lineal subespacio + un vector) que están dentro de $N$. Por ejemplo, $x_1=0,\ x_4+x_5=1$ le dará coset de dimensión $4$ que se encuentra en $N$. He comprobado el uso de la computadora que no hay coset de dimensión $4$ $N$ y contiene $111111$ vector. Necesito demostrar formalmente.

Cualquier ayuda para probar esto o algunos libros, artículos sobre esos problemas será apreciado.

Answer 1

Suponga que un 4-dimensional espacio vectorial $V$ existe. Considere la posibilidad de las 3 dimensiones de la subespacio $U\subset \Bbb{F}_2^6$ compuesta por los vectores cuyas tres primeras coordenadas de todos desaparecen. Debido a $\dim V+\dim U=4+3>6$ estos dos subespacios, se cruzan no trivialmente. Por lo tanto existe una no-vector cero $v$ de la forma $$v=(0,0,0,v_4,v_5,v_6)\V\cap U.$$ Comprobar lo que sucede en el punto de $(1,1,1,1,1,1)+v$.