Es necesario que si el límite existe en un punto debe ser también definida en ese punto?

Question

Dicen que existe un límite de $\lim_{x \to x_0}f(x) = L$. Es necesario que el $f$ ser definida en el punto de $x_0$ sí?
Bueno, lo que pienso es que está bien ser definida en ese punto porque supongo que no cese el límite de la función para que existen?

Answer 1

"No", en una particularmente fuerte sentido: por La misma razón límites de las matemáticas consiste en extraer los valores numéricos de la diferencia de cocientes. $$ \frac{f(x) - f(x_{0})}{x - x_{0}} $$ (que son, por supuesto, de manera algebraica indeterminado en $x_{0}$), en el límite de $x \to x_{0}$.

La definición formal de $L = \lim(f, x_{0})$ ("Por cada $\varepsilon > 0$, existe un $\delta > 0$ que si $0 < |x - x_{0}| < \delta$,$|f(x) - L| < \varepsilon$") explícitamente evita la evaluación de la $f$$x_{0}$, precisamente por $f$ podría ser indefinido en $x_{0}$.

Answer 2

Esto no es necesario en absoluto. Por ejemplo: $$ \lim_{x\to 0} \frac {x^2}x =0, $$ pero $\left.\dfrac{x^2}{x}\right\vert_{x=0}$ es indefinido.

Si tenemos que $f$ se define en $a$ e $\lim\limits_{x\to a}f(x)=f(a)$ , $f$ se llama continua en $x=a$.

Answer 3

$\lim_{x\to x_0} f(x)=L$ $f:D\to\mathbb R$ se define como

Para todas las secuencias de $(a_n)$ $\lim_{n\to\infty} a_n = x_0$ nos encontramos con $\lim_{n\to\infty} f(a_n) = L$.

Para garantizar que el $L$ está definida de forma única necesitamos al menos una secuencia $(a_n)$ del dominio como $\lim_{n\to\infty} a_n = x_0$. Por lo tanto, $x_0$ necesita ser un punto de acumulación del dominio de $D$.

Conclusión: $x_0$ no necesita estar en el dominio de $f$, pero debe ser un punto de acumulación del dominio.