Expectativa de movimiento browniano geométrico

Question

Yo estaba derivando la solución a la ecuación diferencial estocástica $$dX_t = \mu X_tdt + \sigma X_tdB_t$$ where $B_t$ is a brownian motion. After finding $$X_t = x_0\exp((\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \mu B_t)$$ I wanted to calculate the expectation of $X_t$. However I think I'm not quite getting it. I thought that I'd just calculate $$E(x_0\exp((\mu - \frac{\sigma^2}{2})t + \mu B_t) = x_0\exp((\mu - \frac{\sigma^2}{2})t)E(\exp(\mu B_t))$$ but the book I'm using gives as answer $E(X_t) = x_0\exp(\mu t)$. I found this quite surprising as I don't quite see how $\sigma$ could just disappear. After reading Wikipedia I see that the result could be either $E(X_t) = x_0\exp((\mu + \frac{\sigma^2}{2})t)$ or $E(X_t) = x_0\exp(\mu t)$, dependiendo de si se utiliza el Itô interpretación o la Stratanovich interpretación.

Desde que el libro, yo uso solo considera la Itô formulación estocástica de integración estoy interesado en el último resultado. Pero, ¿cómo puedo obtener de esto? ¿Me acaba de fallar en el cálculo de $E(\exp(\mu B_t))$? Gracias de antemano.

Answer 1

La respuesta es que $E(X_t)=x_0e^{\mu t}$. La forma más sencilla de ver esto es a partir de la SDE y la nota que $\mathrm{d}E(X_t)=\mu E(X_t)\mathrm{d}t$$E(X_0)=x_0$. Por lo tanto $a(t)=E(X_t)$ resuelve $a'(t)=\mu a(t)$$a(0)=x_0$, $a(t)=x_0e^{\mu t}$ como se afirmó anteriormente.

La solución va por mal camino cuando se resuelve la SDE, el factor de $B_t$ es falso y, de hecho, $$ X_t=x_0e^{(\mu\sigma^2/2)t+\sigma B_t}. $$ Por lo tanto $$ E(X_t)=x_0e^{(\mu\sigma^2/2)t}E(e^{\sigma B_t}). $$ Desde $E(e^{uZ})=e^{u^2/2}$ para cada número real $u$ y cada una variable aleatoria normal estándar $Z$, la identidad de $E(e^{\sigma B_t})=e^{\sigma^2 t/2}$ se deduce del hecho de que $\sigma B_t$ es distribuido como $\sigma\sqrt{t}Z$. Simplificando, se obtiene la misma expresión de $E(X_t)$ que por la ruta directa.

Answer 2

Una manera fácil de calcular un valor esperado de SDE la solución es encontrar una ecuación en $m(t) = \mathsf{E}[X_t]$. Más precisamente, de $$ dX_t = \mu X_tdt+\sigma X_t dB_t $$ tomando las expectativas de ambos lados (mientras que el uso de ese $\mathsf{E}[dB_t] = 0$) obtenemos $$ dm(t) = \mu m(t)dt, $$ que da una respuesta deseada. De hecho, a partir de la última ecuación se deduce que $m(t) = m_0 \mathrm{e}^{\mu t}$. @Hacía ya ha descrito tal método, pero puede ser útil para usted para aplicar este método para otros SDEs.

Usted debe ser consciente de tomar la expectativa en la SDE, que es bastante informal. Por otro lado, puede escribir equivalentemente, $$ X_t = X_0+ \int\limits_0^t\mu X_sds+\int\limits_0^t\sigma X_s dB_s. $$

Aquí usted puede tomar una expectativa ya que en ambos lados hay sólo variables aleatorias (en cada momento temporal determinado). El último integral de cero expectativa, ya que es la integral de Ito.

Answer 3

Identificar las $E(\exp (\mu B_t ))$ con el momento de generación de la función de la distribución normal con media cero y varianza $t$.